18.4: Площа катеноїда

Теорема з галузі математики, відомої як обчислення варіацій, полягає в наступному. Нехай\(y = y(x) \) з\(y' = dy/dx \) і нехай\( f(y,y',x) \) буде деяка функція\(y, y' \) і\(x\). Розглянемо лінійний інтеграл\(f\) від A до B уздовж маршруту\(y = y(x)\).

\[ \int_{A}^{B} f(y,y',x) dx \label{18.4.1} \]

Загалом, і якщо не\(f\) є функцією\(x\) і\(y\) поодинці, а не від\(y'\), значення цього інтеграла буде залежати від маршруту (тобто\(y = y(x)\)), над яким обчислюється цей лінійний інтеграл. Теорема стверджує, що інтеграл є екстремумом для маршруту, який задовольняє

\[ \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} = \frac{\partial f}{\partial y} \label{18.4.2} \]

Під «екстремумом» ми маємо на увазі або мінімум, або максимум, або перегин, хоча в багатьох - можливо, більшості випадків фізичного інтересу, це мінімум. Новачкові цієї теореми може бути важко спробувати зрозуміти, що саме означає ця теорема, тому, мабуть, найкращий спосіб передати її значення - почати з наведення простого прикладу. Слідом за цим я наведу приклад за участю контактної мережі. Буде ще один приклад, який включає відому проблему в динаміці, у главі 19, і насправді ми вже стикалися з її застосуванням у главі 14 при обговоренні варіаційного принципу Гамільтона.

Розглянемо, наприклад, задачу обчислення відстані, виміряної по деякому маршруту\( y(x) \) між двома точками; тобто ми хочемо обчислити довжину дуги\( \int ds \) від звичайного піфагорійського відношення між\(ds\),\(dx\) і\(dy\), це є\( \int (1 + y') ^{1/2}dx \). Варіаційний принцип говорить, що ця відстань - вимірювана вздовж\(y(x)\) - є найменшою для маршруту\(y(x)\), який задовольняє рівнянню 18.4.2, в якому в цьому випадку\( f = (1 + y')^{1/2} \)

Для цього випадку у нас є\( \frac{df}{dy}= 0 \) і\( \frac{df}{dy}= \frac{y'}{(1+ y')^{1/2}} \). Таким чином, інтеграція рівняння\ ref {18.4.2} дає

\[ y' = c(1+y'^2)^{1/2} , \label{18.4.3} \]

де\(c\) константа інтеграції. Якщо ми вирішимо це для\(y'\), ми отримуємо який просто ще одна константа, який я напишу як\(a\), так що\(y' = a\). Інтегруйте це, щоб знайти

\[ y = ax + b \label{18.4.4} \]

Це, мабуть, здається досить довгим шляхом, щоб довести, що найкоротша відстань між двома точками - це пряма лінія - але це не було точкою вправи. Мета полягала лише в тому, щоб зрозуміти значення варіаційного принципу.

Спробуємо ще один приклад, в якому відповідь буде не таким очевидним.

Розглянемо деяку криву\(y = y(x)\), і повернемо криву на кут\(\phi \) (який не обов'язково повинен бути повним (\ 2\ pi\) радіани) навколо\(y\) -осі. Елемент\(ds\) кривої може бути записаний як\( \sqrt{1 + y'^2 dx} \) і відстань, переміщене елементом\(ds\) (яке знаходиться на відстані\(x\) від\(y\) -осі) під час обертання є\(\phi x\). Таким чином, область, змітається кривою, є

\[ A = \phi \int x \sqrt{1+y'^2}dx. \label{18.4.5} \]

Для якої форми кривої\(y = y(x)\), ця область найменше? Відповідь — крива, яка задовольняє рівняння\(\ref{18.4.2} \), де\( f = x \sqrt{1 = y'^2}\). Для цієї функції у нас є\( \frac{\partial f}{\partial y } = 0 \) і\( \frac{\partial f}{\partial y } = \frac{xy'}{\sqrt{1+y'^2}}\).

Тому необхідна крива задовольняє

\[ \frac{xy'}{\sqrt{1+ y'^2}}= a. \label{18.4.6} \]

Тобто,

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{x^2 - a^2}}. \label{18.4.7} \]

На підстановці\( x = a \cosh \theta \) і пошуку всього, що ми забули про гіперболічні функції, і інтегруючи, отримуємо

\[ y = a \cosh (x/a). \label{18.4.8} \]

Таким чином, необхідна крива є мережею.

Якщо між двома однаковими горизонтальними кільцями утворився мильний міхур, один під іншим, він прийме форму найменшої площі, а саме катеноїда.