18.4: Площа катеноїда

Теорема з галузі математики, відомої як обчислення варіацій, полягає в наступному. Нехай$y = y(x)$ з$y' = dy/dx$ і нехай$f(y,y',x)$ буде деяка функція$y, y'$ і$x$. Розглянемо лінійний інтеграл$f$ від A до B уздовж маршруту$y = y(x)$.

$$\int_{A}^{B} f(y,y',x) dx \label{18.4.1}$$

Загалом, і якщо не$f$ є функцією$x$ і$y$ поодинці, а не від$y'$, значення цього інтеграла буде залежати від маршруту (тобто$y = y(x)$), над яким обчислюється цей лінійний інтеграл. Теорема стверджує, що інтеграл є екстремумом для маршруту, який задовольняє

$$\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} = \frac{\partial f}{\partial y} \label{18.4.2}$$

Під «екстремумом» ми маємо на увазі або мінімум, або максимум, або перегин, хоча в багатьох - можливо, більшості випадків фізичного інтересу, це мінімум. Новачкові цієї теореми може бути важко спробувати зрозуміти, що саме означає ця теорема, тому, мабуть, найкращий спосіб передати її значення - почати з наведення простого прикладу. Слідом за цим я наведу приклад за участю контактної мережі. Буде ще один приклад, який включає відому проблему в динаміці, у главі 19, і насправді ми вже стикалися з її застосуванням у главі 14 при обговоренні варіаційного принципу Гамільтона.

Розглянемо, наприклад, задачу обчислення відстані, виміряної по деякому маршруту$y(x)$ між двома точками; тобто ми хочемо обчислити довжину дуги$\int ds$ від звичайного піфагорійського відношення між$ds$,$dx$ і$dy$, це є$\int (1 + y') ^{1/2}dx$. Варіаційний принцип говорить, що ця відстань - вимірювана вздовж$y(x)$ - є найменшою для маршруту$y(x)$, який задовольняє рівнянню 18.4.2, в якому в цьому випадку$f = (1 + y')^{1/2}$

Для цього випадку у нас є$\frac{df}{dy}= 0$ і$\frac{df}{dy}= \frac{y'}{(1+ y')^{1/2}}$. Таким чином, інтеграція рівняння\ ref {18.4.2} дає

$$y' = c(1+y'^2)^{1/2} , \label{18.4.3}$$

де$c$ константа інтеграції. Якщо ми вирішимо це для$y'$, ми отримуємо який просто ще одна константа, який я напишу як$a$, так що$y' = a$. Інтегруйте це, щоб знайти

$$y = ax + b \label{18.4.4}$$

Це, мабуть, здається досить довгим шляхом, щоб довести, що найкоротша відстань між двома точками - це пряма лінія - але це не було точкою вправи. Мета полягала лише в тому, щоб зрозуміти значення варіаційного принципу.

Спробуємо ще один приклад, в якому відповідь буде не таким очевидним.

Розглянемо деяку криву$y = y(x)$, і повернемо криву на кут$\phi$ (який не обов'язково повинен бути повним (\ 2\ pi\) радіани) навколо$y$ -осі. Елемент$ds$ кривої може бути записаний як$\sqrt{1 + y'^2 dx}$ і відстань, переміщене елементом$ds$ (яке знаходиться на відстані$x$ від$y$ -осі) під час обертання є$\phi x$. Таким чином, область, змітається кривою, є

$$A = \phi \int x \sqrt{1+y'^2}dx. \label{18.4.5}$$

Для якої форми кривої$y = y(x)$, ця область найменше? Відповідь — крива, яка задовольняє рівняння$\ref{18.4.2}$, де$f = x \sqrt{1 = y'^2}$. Для цієї функції у нас є$\frac{\partial f}{\partial y } = 0$ і$\frac{\partial f}{\partial y } = \frac{xy'}{\sqrt{1+y'^2}}$.

Тому необхідна крива задовольняє

$$\frac{xy'}{\sqrt{1+ y'^2}}= a. \label{18.4.6}$$

Тобто,

$$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{x^2 - a^2}}. \label{18.4.7}$$

На підстановці$x = a \cosh \theta$ і пошуку всього, що ми забули про гіперболічні функції, і інтегруючи, отримуємо

$$y = a \cosh (x/a). \label{18.4.8}$$

Таким чином, необхідна крива є мережею.

Якщо між двома однаковими горизонтальними кільцями утворився мильний міхур, один під іншим, він прийме форму найменшої площі, а саме катеноїда.