Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5: Обчислення варіацій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75832

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Попередні глави зосереджені на інтуїтивному ньютонівському підході до класичної механіки, який базується на векторних величинях, таких як сила, імпульс та прискорення. Ньютонівська механіка призводить до диференціальних рівнянь руху другого порядку. Обчислення варіацій лежить в основі потужного альтернативного підходу до класичної механіки, який базується на визначенні шляху, який мінімізує інтегральну величину. Цей інтегральний варіаційний підхід вперше відстоював Готфрід Вільгельм Лейбніц, сучасно з розвитком Ньютона диференціального підходу до класичної механіки.

    • 5.1: Вступ до обчислення варіацій
      Протягом 18 століття Бернуллі, який був студентом Лейбніца, розробив область варіаційного числення, яка лежить в основі інтегрального варіаційного підходу до механіки. Він вирішив проблему брахістохрону, яка передбачає пошук шляху, для якого час транзиту між двома точками є найкоротшим.
    • 5.2: Диференціальне рівняння Ейлера
      Представлене тут обчислення варіацій лежить в основі потужних варіаційних підходів, які були розроблені для класичної механіки. Варіаційне обчислення, розроблене для класичної механіки, сьогодні стало важливим підходом до багатьох інших дисциплін в науці, техніці, економіці та медицині.
    • 5.3: Застосування рівняння Ейлера
      Проблема Брахістохрона передбачає знаходження шляху, який має мінімальний час транзиту між двома точками. Проблема Брахістохрона стимулювала розвиток варіаційного числення Джона Бернуллі та Ейлера.
    • 5.4: Вибір незалежної змінної
      Широкий вибір змінних може бути обраний як незалежна змінна для варіаційного числення. Вибір змінної для використання як незалежної змінної не змінює фізику задачі, але деякі виділення можуть спростити математику для отримання аналітичного рішення. Наступний приклад циліндрично-симетричної поверхні мильно-міхура, утвореної продуванням мильної бульбашки, яка розтягується між двома круговими обручами, ілюструє важливість незалежної змінної.
    • 5.5: Функції з декількома незалежними змінними
      Обговорення було зосереджено на системах, що мають лише одну функцію y (x), таку, що функціонал є екстремумом. Найчастіше є функціонал, який залежить від декількох незалежних змінних f [y1 (x), y′1 (x), y2 (x), y′2 (x), y′2 (x),... ; х].
    • 5.6: Інтегральне рівняння Ейлера
      Можна записати інтегральну форму диференціального рівняння Ейлера, яка корисна для випадків, коли функція f явно не залежить від незалежної змінної x.
    • 5.7: Обмежені варіаційні системи
      Голономні обмеження з'єднують координати системи.
    • 5.8: Узагальнені координати у варіаційному обчисленні
      Узагальнені координати дозволяють вбудовувати сили обмеження, що спрощує рішення.
    • 5.9: Множники Лагранжа для голономічних обмежень
      Техніка множника Лагранжа забезпечує потужний та елегантний спосіб обробки голономічних обмежень за допомогою рівнянь Ейлера. Загальний метод множників Лагранжа для n змінних з m обмеженнями найкраще впроваджено за допомогою геніальної експлуатації Бернуллі віртуальних нескінченно малих переміщень, які Лагранж позначив символом δ.
    • 5.10: Геодезичні
      Геодезичний визначається як найкоротший шлях між двома фіксованими точками для руху, який обмежений лежати на поверхні. Варіаційне числення забезпечує потужний підхід для визначення рівнянь руху, обмежених слідувати геодезичним.
    • 5.11: Варіаційний підхід до класичної механіки
      Цей розділ ілюструє, що варіаційні принципи забезпечують засіб отримання більш детальної інформації, наприклад траєкторії руху між заданими початковими та кінцевими умовами, вимагаючи, щоб скалярні функціонали мали екстремальні значення. Наприклад, розв'язання брахістохронної задачі визначало траєкторію, що має мінімальний час проходження, виходячи лише з величин кінетичної та гравітаційної потенційних енергій.
    • 5.E: Обчислення варіацій (вправи)
    • 5.S: Обчислення варіацій (резюме)

    Мініатюра: Мінімізація функцій і пробних функцій. (CC BY-SA 2.5; Банерджі).