15.25: Додавання кінетичних енергій

Зараз я хочу розглянути дві частинки, що рухаються з нерелятивістськими швидкостями - під якими я маю на увазі, що кінетична енергія надається достатньому наближенню за допомогою виразу$\frac{1}{2}mu^{2}$ і так, щоб паралельні швидкості додавалися лінійно.

Розглянемо частинки на малюнку XV.37, на яких показані швидкості щодо лабораторного простору.

Відноситься до лабораторного простору, кінетична енергія є$\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2}$. Однак центр маси рухається вправо зі швидкістю$V=\frac{(m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2})}{(m_{1}+m_{2})}$, і, що відноситься до центру масового простору, кінетична енергія є$\frac{1}{2}m_{1}(u_{1}-V)^{2}+\frac{1}{2}m(u_{2}+V)^{2}$. З іншого боку, якщо ми відносимо ситуацію до кадру, в якому$m_{1}$ знаходиться в стані спокою, кінетична енергія є$\frac{1}{2}m_{2}(u_{1}+u_{2})^{2}$, і, якщо ми відносимо ситуацію до кадру, в якому$m_{2}$ знаходиться спокій, кінетична енергія є$\frac{1}{2}m_{1}(u_{1}+u_{2})^{2}$.

Все, що ми говоримо, це те, що кінетична енергія залежить від кадру, до якого посилається швидкість - і це не те, що виникає лише для релятивістських швидкостей.

Давайте поставимо деякі цифри в. Припустимо, наприклад, що

$m_{1} = 3$кг$u_{1} = 4$ м с ^-1

$m_{2} = 2$кг$u_{3} = 4$ м с ^-1

щоб

$V = 1.2$м с ^-1.

У такому випадку кінетична енергія

віднесене до лабораторних приміщень становить 33 Дж,

згадується центр масового простору 29,4 Дж,

$m_{1}$згадується 49 Дж,

$m_{2}$згадується 73.5 Дж.

У цьому випадку кінетична енергія є найменшою, коли її відносять до центру масового простору, і є найбільшою, якщо її називають меншою масою.

Вправа. Чи завжди це так, якими б не були значення m ₁, m ₂, u ₁ і u ₂?

Можливо, варто подивитися на особливий випадок, коли дві маси рівні (м), а дві швидкості (будь то в лабораторії чи центрі масового простору) рівні (u).

У цьому випадку кінетична енергія в лабораторії або центрі масового простору становить mu ², тоді як для будь-якої з мас вона дорівнює 2 мю ².

Тепер ми розглянемо ту саму проблему для частинок, що рухаються з релятивістськими швидкостями, і ми побачимо, що кінетична енергія, що посилається на кадр, в якому одна з частинок знаходиться в стані спокою, набагато більша, ніж (а не лише вдвічі) енергія, що посилається на центр маси кадру.

Якщо дві частинки рухаються назустріч один одному з «швидкостями», заданими g ₁ і g ₂ в центрі масового простору, g однієї відносно іншої задається рівнянням 15.16.14, а, оскільки K = g - 1, випливає, що якщо дві частинки мають кінетичні енергії K ₁ і K ₂ в центрі масового простору (в одиницях m ₀ c ² кожної), тоді кінетична енергія однієї відносно іншої дорівнює

$$K=K_{1} \oplus K_{2} = K_{1}+K_{2}+K_{1}K_{2}+\sqrt{K_{1}K_{2}(K_{1}+2)(K_{2}+2)}. \label{12.25.1}$$

Якщо дві однакові частинки, кожна з$K_{1}$ разів кінетичної енергії$m_{0}c^{2}$, наближаються один до одного, кінетична енергія однієї щодо іншої дорівнює

$$K=2K_{1}(K_{1}+2). \label{15.25.2}$$

Для нерелятивістських швидкостей як$K_{1}\rightarrow 0$, це має тенденцію до$K=4K_{1}$, як очікувалося.

Припустимо, що два протони наближаються один до одного на 99% швидкості світла в центрі масового простору ($K_{1}$= 6,08881). Згадується кадр, в якому один протон знаходиться в стані спокою, кінетична енергія іншого становитиме$K$ = 98,5025, відносні швидкості в 0,99995 рази перевищують швидкість світла. Таким чином,$K=16K_{1}$ а не просто$4K_{1}$ як у нерелятивістському розрахунку. Для більш енергійних частинок співвідношення$\frac{K}{K_{1}}$ ще більше. Ці розрахунки значно полегшуються, якщо ви написали, як було запропоновано в Розділі 15.3, програму, яка миттєво з'єднує всі наведені там фактори відносності.

Вправа$\PageIndex{1}$

Два протони наближаються один до одного, кожен з яких має кінетичну енергію 500 ГеВ в лабораторії або центрі масового простору. (Оскільки дві маси решти рівні, ці ДВА простори ідентичні.) Яка кінетична енергія одного протона в кадрі, в якому інший знаходиться в стані спокою?

(Відповідь: Я роблю це 535 теВ.)

Фактор$K$ (кінетична енергія в одиницях$m_{0}c^{2}$) є останнім з декількох факторів, що використовуються в цьому розділі для опису швидкості, з якою рухається частинка, і я користуюся можливістю тут узагальнити формули, які були виведені в розділі для поєднання цих кількох заходів швидкість. Такими є

$$\beta_{1}\oplus\beta_{2}=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}}. \label{15.16.7}\tag{15.16.7}$$

$$\gamma_{1}\oplus\gamma_{2}=\gamma_{1}\gamma_{2}+\sqrt{(\gamma_{1}^{2}-1)(\gamma_{2}^{2}-1)}. \label{15.16.14}\tag{15.16.14}$$

$$k_{1}\oplus k_{2}=k_{1}k_{2} \label{15.18.11}\tag{15.18.11}$$

$$z_{1}\oplus z_{2}=z_{1}z_{2}+z_{1}+z_{2}. \label{15.18.12}\tag{15.18.12}$$

$K=K_{1} \oplus K_{2} = K_{1}+K_{2}+K_{1}K_{2}+\sqrt{K_{1}K_{2}(K_{1}+2)(K_{2}+2)}$.

$$\frac{\phi_{1}}{\phi_{2}}=\phi_{1}+\phi_{2} \label{15.16.11}\tag{15.16.11}$$

Якщо дві швидкості, які потрібно об'єднати, рівні, вони стають

$$\beta_{1}\oplus\beta_{1}=\frac{2\beta_{1}}{1+\beta_{1}^{2}}. \label{12.25.3}$$

$$\gamma_{1}\oplus\gamma_{1}=2\gamma_{1}^{2}-1 \label{12.25.4}$$

$$\frac{k_{1}}{k_{1}}=k_{1}^{2} \label{12.25.5}$$

$$z_{1}\oplus z_{1}=z_{1}(z_{1}+2) \label{12.25.6}$$

$$K_{1}\oplus K_{1}=2K_{1}(K_{1}+2). \label{12.25.7}$$

$$\phi_{1}\oplus\phi_{1}=2\phi. \label{12.25.8}$$

Ці формули корисні, але для числових прикладів, якщо у вас вже є програма для взаємоперетворення між усіма цими факторами, найпростішим і швидким способом поєднання двох «швидкостей» є їх перетворення в$\phi$. Ми бачили приклади того, як це працює в розділах 15.16 та 15.18. Ми можемо зробити те ж саме з нашим прикладом з цього розділу при поєднанні двох кінетичних енергій. Таким чином, ми поєднували дві кінетичні енергії в лабораторному просторі, кожна з яких$K_{1}$ = 6,08881 ($\phi_{1}$= 2,64665). З цього$\phi$ = 5,29330, що відповідає$K$ = 98,5025.