15.25: Додавання кінетичних енергій
- Page ID
- 75828
Зараз я хочу розглянути дві частинки, що рухаються з нерелятивістськими швидкостями - під якими я маю на увазі, що кінетична енергія надається достатньому наближенню за допомогою виразу\( \frac{1}{2}mu^{2}\) і так, щоб паралельні швидкості додавалися лінійно.
Розглянемо частинки на малюнку XV.37, на яких показані швидкості щодо лабораторного простору.
Відноситься до лабораторного простору, кінетична енергія є\( \frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2}\). Однак центр маси рухається вправо зі швидкістю\( V=\frac{(m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2})}{(m_{1}+m_{2})}\), і, що відноситься до центру масового простору, кінетична енергія є\( \frac{1}{2}m_{1}(u_{1}-V)^{2}+\frac{1}{2}m(u_{2}+V)^{2}\). З іншого боку, якщо ми відносимо ситуацію до кадру, в якому\( m_{1}\) знаходиться в стані спокою, кінетична енергія є\( \frac{1}{2}m_{2}(u_{1}+u_{2})^{2}\), і, якщо ми відносимо ситуацію до кадру, в якому\( m_{2}\) знаходиться спокій, кінетична енергія є\( \frac{1}{2}m_{1}(u_{1}+u_{2})^{2}\).
Все, що ми говоримо, це те, що кінетична енергія залежить від кадру, до якого посилається швидкість - і це не те, що виникає лише для релятивістських швидкостей.
Давайте поставимо деякі цифри в. Припустимо, наприклад, що
\( m_{1} = 3\)кг\( u_{1} = 4\) м с -1
\( m_{2} = 2\)кг\( u_{3} = 4\) м с -1
щоб
\( V = 1.2\)м с -1.
У такому випадку кінетична енергія
віднесене до лабораторних приміщень становить 33 Дж,
згадується центр масового простору 29,4 Дж,
\( m_{1}\)згадується 49 Дж,
\( m_{2}\)згадується 73.5 Дж.
У цьому випадку кінетична енергія є найменшою, коли її відносять до центру масового простору, і є найбільшою, якщо її називають меншою масою.
Вправа. Чи завжди це так, якими б не були значення m 1, m 2, u 1 і u 2?
Можливо, варто подивитися на особливий випадок, коли дві маси рівні (м), а дві швидкості (будь то в лабораторії чи центрі масового простору) рівні (u).
У цьому випадку кінетична енергія в лабораторії або центрі масового простору становить mu 2, тоді як для будь-якої з мас вона дорівнює 2 мю 2.
Тепер ми розглянемо ту саму проблему для частинок, що рухаються з релятивістськими швидкостями, і ми побачимо, що кінетична енергія, що посилається на кадр, в якому одна з частинок знаходиться в стані спокою, набагато більша, ніж (а не лише вдвічі) енергія, що посилається на центр маси кадру.
Якщо дві частинки рухаються назустріч один одному з «швидкостями», заданими g 1 і g 2 в центрі масового простору, g однієї відносно іншої задається рівнянням 15.16.14, а, оскільки K = g - 1, випливає, що якщо дві частинки мають кінетичні енергії K 1 і K 2 в центрі масового простору (в одиницях m 0 c 2 кожної), тоді кінетична енергія однієї відносно іншої дорівнює
\[ K=K_{1} \oplus K_{2} = K_{1}+K_{2}+K_{1}K_{2}+\sqrt{K_{1}K_{2}(K_{1}+2)(K_{2}+2)}. \label{12.25.1} \]
Якщо дві однакові частинки, кожна з\( K_{1}\) разів кінетичної енергії\( m_{0}c^{2}\), наближаються один до одного, кінетична енергія однієї щодо іншої дорівнює
\[ K=2K_{1}(K_{1}+2). \label{15.25.2} \]
Для нерелятивістських швидкостей як\( K_{1}\rightarrow 0\), це має тенденцію до\( K=4K_{1}\), як очікувалося.
Припустимо, що два протони наближаються один до одного на 99% швидкості світла в центрі масового простору (\( K_{1}\)= 6,08881). Згадується кадр, в якому один протон знаходиться в стані спокою, кінетична енергія іншого становитиме\( K\) = 98,5025, відносні швидкості в 0,99995 рази перевищують швидкість світла. Таким чином,\( K=16K_{1}\) а не просто\( 4K_{1}\) як у нерелятивістському розрахунку. Для більш енергійних частинок співвідношення\( \frac{K}{K_{1}}\) ще більше. Ці розрахунки значно полегшуються, якщо ви написали, як було запропоновано в Розділі 15.3, програму, яка миттєво з'єднує всі наведені там фактори відносності.
Два протони наближаються один до одного, кожен з яких має кінетичну енергію 500 ГеВ в лабораторії або центрі масового простору. (Оскільки дві маси решти рівні, ці ДВА простори ідентичні.) Яка кінетична енергія одного протона в кадрі, в якому інший знаходиться в стані спокою?
(Відповідь: Я роблю це 535 теВ.)
Фактор\( K\) (кінетична енергія в одиницях\( m_{0}c^{2}\)) є останнім з декількох факторів, що використовуються в цьому розділі для опису швидкості, з якою рухається частинка, і я користуюся можливістю тут узагальнити формули, які були виведені в розділі для поєднання цих кількох заходів швидкість. Такими є
\[ \beta_{1}\oplus\beta_{2}=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}}. \label{15.16.7}\tag{15.16.7} \]
\[ \gamma_{1}\oplus\gamma_{2}=\gamma_{1}\gamma_{2}+\sqrt{(\gamma_{1}^{2}-1)(\gamma_{2}^{2}-1)}. \label{15.16.14}\tag{15.16.14} \]
\[ k_{1}\oplus k_{2}=k_{1}k_{2} \label{15.18.11}\tag{15.18.11} \]
\[ z_{1}\oplus z_{2}=z_{1}z_{2}+z_{1}+z_{2}. \label{15.18.12}\tag{15.18.12} \]
\( K=K_{1} \oplus K_{2} = K_{1}+K_{2}+K_{1}K_{2}+\sqrt{K_{1}K_{2}(K_{1}+2)(K_{2}+2)}\).
\[ \frac{\phi_{1}}{\phi_{2}}=\phi_{1}+\phi_{2} \label{15.16.11}\tag{15.16.11} \]
Якщо дві швидкості, які потрібно об'єднати, рівні, вони стають
\[ \beta_{1}\oplus\beta_{1}=\frac{2\beta_{1}}{1+\beta_{1}^{2}}. \label{12.25.3} \]
\[ \gamma_{1}\oplus\gamma_{1}=2\gamma_{1}^{2}-1 \label{12.25.4} \]
\[ \frac{k_{1}}{k_{1}}=k_{1}^{2} \label{12.25.5} \]
\[ z_{1}\oplus z_{1}=z_{1}(z_{1}+2) \label{12.25.6} \]
\[ K_{1}\oplus K_{1}=2K_{1}(K_{1}+2). \label{12.25.7} \]
\[ \phi_{1}\oplus\phi_{1}=2\phi. \label{12.25.8} \]
Ці формули корисні, але для числових прикладів, якщо у вас вже є програма для взаємоперетворення між усіма цими факторами, найпростішим і швидким способом поєднання двох «швидкостей» є їх перетворення в\( \phi\). Ми бачили приклади того, як це працює в розділах 15.16 та 15.18. Ми можемо зробити те ж саме з нашим прикладом з цього розділу при поєднанні двох кінетичних енергій. Таким чином, ми поєднували дві кінетичні енергії в лабораторному просторі, кожна з яких\( K_{1}\) = 6,08881 (\( \phi_{1}\)= 2,64665). З цього\( \phi\) = 5,29330, що відповідає\( K\) = 98,5025.