15.9: Скорочення Фіцджеральда-Лоренца

Це іноді описується словами приблизно на зразок наступного:

Якщо вимірювальний стрижень рухається по відношенню до «стаціонарного» спостерігача, він «здається» коротшим, ніж «насправді».

Це не дуже точне твердження, і слова, які я помістив в перевернуті коми, вимагають деякого уточнення.

Ми бачили, що, хоча інтервал між двома подіями є інваріантним між контрольними кадрами, відстань між двома точками (а отже, і довжина стрижня) залежить від координатної рамки, до якої посилаються точки. Давайте тепер визначимося, що ми маємо на увазі під довжиною стрижня. На малюнку XV.10 зображена опорна рамка, а стрижень, що лежить паралельно\( x\) -осі. На даний момент я не уточнюю, чи рухається стрижень щодо опорної рами, чи він нерухомий.

Припустимо, що х -координата лівого кінця стрижня є\( x_{1}\), і що, в той же час посилається на цю опорну рамку,\( x\) -координата правого кінця є\( x_{2}\). Довжина\( l\) стрижня визначається як\( l =\ x_{2}-x_{1}\). Це навряд чи може бути простішим твердженням - але зверніть увагу на маленьку фразу «в той же час посилається на цю систему відліку». Ця проста фраза важлива.

Тепер давайте розглянемо скорочення Фіцджеральда-Лоренца. Див. Малюнок XV.11.

Це два опорні кадри,\( \sum\) і\( sum'\). Рама\( \sum'\) рухається вправо по відношенню до\( \sum\) зі швидкістю\( \nu\). Стрижень знаходиться в стані спокою по відношенню до рами\( \sum'\), і тому рухається вправо щодо\( \sum\) на швидкості\( \nu\).

У молодші дні я часто подорожував поїздом, і мені все ще подобається думати про залізничні поїзди, коли я обговорюю відносність. Сучасні студенти зазвичай люблять думати про космічні апарати, імовірно тому, що вони більше звикли до такого способу пересування. У найперші дні залізниць станційниймайстер було прийнято носити верхню шапку і хвости. Ті часи давно минули, але, думаючи про скорочення Фіцджеральда-Лоренца, мені подобається думати про те, що це залізнична станція, на якій проживає станційний майстер у верхньому капелюсі та хвостах, тоді як\( \sum'\) залізничний поїзд.\( \sum\)

Довжина стрижня, що відноситься до рами\( \sum'\), є\( l'=x_{2}'-x_{1}'\), на що я сподіваюся очевидні позначення, і, звичайно, ці дві координати визначаються одночасно\( \sum'\).

Довжина стрижня, що відноситься до рами, в якій він знаходиться в стані спокою, називається його належною довжиною. Таким\( l'\) чином, правильна довжина стрижня.

Тепер слід зазначити, що відповідно до того, як ми визначили відстань і час за допомогою перетворення Лоренца, хоча\( x'_{2}\) і\( x'_{1}\) вимірюються одночасно щодо\( \sum'\), ці дві події (визначення координат двох кінців стрижня) є не одночасно, коли йдеться про кадр\( \sum\) (точка, до якої ми повернемося в більш пізньому розділі, що стосується одночасності). Довжина стрижня, що відноситься до рами,\( \sum\) задається тим\( l=x_{2}-x_{1}\), де ці дві координати повинні бути визначені одночасно, коли вони посилаються\( \sum\). Тепер рівняння 15.5.16 говорить нам, що\( x_{2}=\frac{x'_{2}}{\gamma}+\nu t\) і\( x_{1}=\frac{x'_{1}}{\gamma}+\nu t\). (Читачі повинні дуже уважно відзначити цю деривацію, бо легко помилитися. Зокрема, бути дуже зрозумілим, що мається на увазі в цих двох рівняннях під символом\( t\). Це єдиний момент часу, про який йдеться\( \sum\), коли координати двох кінців визначаються одночасно по відношенню до\( \sum\).) З них ми досягаємо результату:

\[ l=\frac{l'}{\gamma}. \label{15.9.1} \]

Це скорочення Фіцджеральда-Лоренца.

Іноді описується так: залізничний поїзд належної довжини 100 ярдів рухається повз залізничну станцію зі швидкістю 95% від швидкості світла (\( \gamma\)= 3,2026). До майстра станції поїзд «здається» довжиною 31.22 ярдів; або майстер станції «думає» довжина поїзда 31.22 ярдів; або, «відповідно» stationmaster довжина поїзда 31.22 ярдів. Це створює помилкове враження, ніби майстер станції перебуває під якимось неправильним сприйняттям щодо довжини поїзда, або як ніби він працює під якоюсь ілюзією, і це вводить якусь непотрібну «таємницю» в те, що є не що інше, як проста алгебра. Насправді те, що «думає» або «стверджує» станціонер, абсолютно не має значення. Два правильних твердження: 1. Довжина поїзда, що називається рамкою відліку, в якій він знаходиться в стані спокою - тобто належної довжини поїзда - становить 100 ярдів. 2. Довжина поїзда при зверненні до рами, щодо якої він рухається зі швидкістю 0,95,\( c\) становить 31,22 ярда. І це все, що є в ньому. Будь-яка фраза, така як «цей спостерігач вважає, що» або «на думку цього спостерігача», завжди повинна тлумачитися таким чином. Справа не в тому, що «думає» спостерігач. Це питання про те, на який кадр посилається вимірювання. Нічого більше, не менше.

Можна описати скорочення Лоренца-Фіцджеральда, інтерпретувавши перетворення Лоренца як обертання в 4-х просторі. Чи корисно це зробити тільки ви можете вирішити. Таким чином, на малюнку XV.12 показано\( \sum\) і\( \sum'\) пов'язане обертанням способом, описаним у розділі 15.7. Товста безперервна лінія показує стрижень, орієнтований так, що два його кінці малюються одночасно по відношенню до\( \sum'\). Його довжина, згадується\( sum'\)\( l'\), і це його належна довжина. Товста пунктирна лінія показує два кінці одночасно по відношенню до\( \sum\). Його довжина згадується\( \sum\) є\( l=\frac{l'}{\cos\theta}\). А, оскільки\( \cos\theta=\gamma\), який більше 1, це означає, що, незважаючи на появу на малюнку,\( l < l'\). Малюнок оманливий, оскільки, як обговорюється в розділі 15.7,\( \theta\) є уявним. Як я кажу, тільки ви можете вирішити, чи є цей спосіб перегляду скорочення корисним чи просто заплутаним. Це, однак, принаймні, варто подивитися, тому що я буду використовувати цю концепцію ротації в майбутньому розділі про одночасність і порядок подій. Ілюстрація перетворень Лоренца як такого обертання називається діаграмою Мінковського.