15.9: Скорочення Фіцджеральда-Лоренца
Це іноді описується словами приблизно на зразок наступного:
Якщо вимірювальний стрижень рухається по відношенню до «стаціонарного» спостерігача, він «здається» коротшим, ніж «насправді».
Це не дуже точне твердження, і слова, які я помістив в перевернуті коми, вимагають деякого уточнення.
Ми бачили, що, хоча інтервал між двома подіями є інваріантним між контрольними кадрами, відстань між двома точками (а отже, і довжина стрижня) залежить від координатної рамки, до якої посилаються точки. Давайте тепер визначимося, що ми маємо на увазі під довжиною стрижня. На малюнку XV.10 зображена опорна рамка, а стрижень, що лежить паралельноx -осі. На даний момент я не уточнюю, чи рухається стрижень щодо опорної рами, чи він нерухомий.
Припустимо, що х -координата лівого кінця стрижня єx1, і що, в той же час посилається на цю опорну рамку,x -координата правого кінця єx2. Довжинаl стрижня визначається якl= x2−x1. Це навряд чи може бути простішим твердженням - але зверніть увагу на маленьку фразу «в той же час посилається на цю систему відліку». Ця проста фраза важлива.
Тепер давайте розглянемо скорочення Фіцджеральда-Лоренца. Див. Малюнок XV.11.
Це два опорні кадри,∑ іsum′. Рама∑′ рухається вправо по відношенню до∑ зі швидкістюν. Стрижень знаходиться в стані спокою по відношенню до рами∑′, і тому рухається вправо щодо∑ на швидкостіν.
У молодші дні я часто подорожував поїздом, і мені все ще подобається думати про залізничні поїзди, коли я обговорюю відносність. Сучасні студенти зазвичай люблять думати про космічні апарати, імовірно тому, що вони більше звикли до такого способу пересування. У найперші дні залізниць станційниймайстер було прийнято носити верхню шапку і хвости. Ті часи давно минули, але, думаючи про скорочення Фіцджеральда-Лоренца, мені подобається думати про те, що це залізнична станція, на якій проживає станційний майстер у верхньому капелюсі та хвостах, тоді як∑′ залізничний поїзд.∑
Довжина стрижня, що відноситься до рами∑′, єl′=x′2−x′1, на що я сподіваюся очевидні позначення, і, звичайно, ці дві координати визначаються одночасно∑′.
Довжина стрижня, що відноситься до рами, в якій він знаходиться в стані спокою, називається його належною довжиною. Такимl′ чином, правильна довжина стрижня.
Тепер слід зазначити, що відповідно до того, як ми визначили відстань і час за допомогою перетворення Лоренца, хочаx′2 іx′1 вимірюються одночасно щодо∑′, ці дві події (визначення координат двох кінців стрижня) є не одночасно, коли йдеться про кадр∑ (точка, до якої ми повернемося в більш пізньому розділі, що стосується одночасності). Довжина стрижня, що відноситься до рами,∑ задається тимl=x2−x1, де ці дві координати повинні бути визначені одночасно, коли вони посилаються∑. Тепер рівняння 15.5.16 говорить нам, щоx2=x′2γ+νt іx1=x′1γ+νt. (Читачі повинні дуже уважно відзначити цю деривацію, бо легко помилитися. Зокрема, бути дуже зрозумілим, що мається на увазі в цих двох рівняннях під символомt. Це єдиний момент часу, про який йдеться∑, коли координати двох кінців визначаються одночасно по відношенню до∑.) З них ми досягаємо результату:
l=l′γ.
Це скорочення Фіцджеральда-Лоренца.
Іноді описується так: залізничний поїзд належної довжини 100 ярдів рухається повз залізничну станцію зі швидкістю 95% від швидкості світла (γ= 3,2026). До майстра станції поїзд «здається» довжиною 31.22 ярдів; або майстер станції «думає» довжина поїзда 31.22 ярдів; або, «відповідно» stationmaster довжина поїзда 31.22 ярдів. Це створює помилкове враження, ніби майстер станції перебуває під якимось неправильним сприйняттям щодо довжини поїзда, або як ніби він працює під якоюсь ілюзією, і це вводить якусь непотрібну «таємницю» в те, що є не що інше, як проста алгебра. Насправді те, що «думає» або «стверджує» станціонер, абсолютно не має значення. Два правильних твердження: 1. Довжина поїзда, що називається рамкою відліку, в якій він знаходиться в стані спокою - тобто належної довжини поїзда - становить 100 ярдів. 2. Довжина поїзда при зверненні до рами, щодо якої він рухається зі швидкістю 0,95,c становить 31,22 ярда. І це все, що є в ньому. Будь-яка фраза, така як «цей спостерігач вважає, що» або «на думку цього спостерігача», завжди повинна тлумачитися таким чином. Справа не в тому, що «думає» спостерігач. Це питання про те, на який кадр посилається вимірювання. Нічого більше, не менше.
Можна описати скорочення Лоренца-Фіцджеральда, інтерпретувавши перетворення Лоренца як обертання в 4-х просторі. Чи корисно це зробити тільки ви можете вирішити. Таким чином, на малюнку XV.12 показано∑ і∑′ пов'язане обертанням способом, описаним у розділі 15.7. Товста безперервна лінія показує стрижень, орієнтований так, що два його кінці малюються одночасно по відношенню до∑′. Його довжина, згадуєтьсяsum′l′, і це його належна довжина. Товста пунктирна лінія показує два кінці одночасно по відношенню до∑. Його довжина згадується∑ єl=l′cosθ. А, оскількиcosθ=γ, який більше 1, це означає, що, незважаючи на появу на малюнку,l<l′. Малюнок оманливий, оскільки, як обговорюється в розділі 15.7,θ є уявним. Як я кажу, тільки ви можете вирішити, чи є цей спосіб перегляду скорочення корисним чи просто заплутаним. Це, однак, принаймні, варто подивитися, тому що я буду використовувати цю концепцію ротації в майбутньому розділі про одночасність і порядок подій. Ілюстрація перетворень Лоренца як такого обертання називається діаграмою Мінковського.