15.7: Трансформація Лоренца як обертання

Трансформація Лоренца може бути написана

\[ \begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\x_{3}'\\x_{4}'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & 0 & 0 & i\beta\gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-i\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix} \label{15.7.1} \]

де\( x_{1}=x\),\( x_{3}=z\) і\( x_{2}=y\)\( x_{4}=-ict\), і аналогічно для загрунтованих кількостей. Будь ласка, не просто вірте моє слово для цього; помножте матриці і переконайтеся, що це рівняння дійсно представляє перетворення Лоренца. Ви можете, якщо хочете, також написати це коротко:

\[ \bf{x'=\lambda x}. \label{15.7.2} \]

Ще один спосіб написання перетворення Лоренца - це

\[ \begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\x_{3}'\\x_{0}'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & 0 & 0 & \beta\gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{0}\end{pmatrix}, \label{15.7.3} \]

де\( x_{1}=x,\ x_{2}=y,\ x_{3}=z\) і\( x_{0}=ct\), і аналогічно для загрунтованих кількостей.

Деякі люди віддають перевагу одній версії, інші віддають перевагу іншій. У будь-якому випадку набір з чотирьох величин, що трансформується так, називається вектором 4. Тим, хто не любить версію,\( \ref{15.7.1}\) не подобається її через введення уявних величин. Ті, хто любить версію,\( \ref{15.7.1}\) вказують на те, що вираз

\[ \sqrt{(\Delta x_{1})^{2}+(\Delta x_{2})^{2}+(\Delta x_{3})^{2}+(\Delta x_{4})^{2}} \nonumber \]

(«інтервал» між двома подіями) є інваріантним у чотирипроміжному просторі — тобто має однакове значення у всіх рівномірно рухомих опорних кадрах, так само, як відстань між двома точками в трипросторі\( [(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}]^{\frac{1}{2}}\), не залежить від положення або орієнтації будь-якого опорного кадру. У\( \ref{15.7.3}\) варіанті інваріантний інтервал дорівнює

\[ \sqrt{(\Delta x_{1})^{2}+(\Delta x_{2})^{2}+(\Delta x_{3})^{2}+(\Delta x_{0})^{2}}. \nonumber \]

Тим, хто віддає перевагу версії,\( \ref{15.7.1}\) не подобається знак мінус у виразі для інтервалу. Тим, хто віддає перевагу версії,\( \ref{15.7.3}\) не подобаються уявні величини версії\( \ref{15.7.1}\).

На даний момент я збираюся опустити\( y\) і\( z\), щоб я міг сконцентрувати свою увагу на стосунках між\( x\) і\( t\). Таким чином, я збираюся написати\( \ref{15.7.1}\) як

\ [\ почати {pmatrix} x_ {1} '\ x_ {4}'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix} x '\ ict'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ гамма і\ бета\ -i\ гамма\ кінець {pmatrix}\ початок {pmatrix} x\ ict\ кінець {pmatrix}}\ мітка {15.7.4}\]

і рівняння\( \ref{15.7.3}\) як

\ [\ почати {pmatrix} х '\\ ct'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ гамма &\ бета\\ гамма\\ гамма\\ кінець {pmatrix}\ почати {pmatrix} х\ ct\ кінець {pmatrix}\\ кінець {pmatrix}\\ мітка {15.7.5}\]

Читачі можуть помітити, наскільки точно рівняння\( \ref{15.7.4}\) нагадує Рівняння для перетворення координат між двома опорними кадрами, нахиленими один до одного під кутом. (Див. Розділ 3.6 Небесної механіки.) Дійсно, якщо ми дозволимо\( \cos\theta=\gamma\) і\( \sin\theta=i\beta\gamma\), Рівняння\( \ref{15.7.4}\) стає

\ [\ почати {pmatrix} х '\\ ict'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ cos\ тета &\ sin\ тета\\\ -\ sin\ тета &\ cos\ тета\ кінець {pmatrix}\ почати {pmatrix} x\\ ct\ кінець {pmatrix}\\ мітка {15.7.6}\]

Матриці в рівняннях\( \ref{15.7.1}\),\( \ref{15.7.4}\) і\( \ref{15.7.6}\) є ортогональними матрицями, і вони задовольняють кожному з критеріїв ортогональності, описаних, наприклад, в розділі Небесної механіки 3.7. Ми можемо отримати зворотні відносини (тобто ми можемо висловити\( x\) і з\( t\) точки зору\( x'\) і\( t'\)), змінюючи загрунтовані і негрунтовані величини і або змінюючи знак\( \beta\) або або змінюючи між собою рядки і стовпці матриці.\( \theta\)

Існує складність у проведенні аналогії між перетворенням Лоренца, вираженим рівнянням\( \ref{15.7.4}\) and rotation of axes as expressed by Equation \( \ref{15.7.6}\) in that, since \( \gamma>1\),\( \theta\) є уявний кут. (На цьому етапі ви можете досягти ваших древніх, крихких, пожовклих нот про складні числа та гіперболічні функції.) Таким чином

\( \theta=\cos^{-1}\gamma\)і для\( \gamma > 1\), це означає, що\( \theta=i\cosh^{-1}\gamma=i\ln\left(\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-1}\right)\). І\( \theta=\sin^{-1}(i\beta\gamma)=i\sinh^{-1}(\beta\gamma)=i\ln\left(\beta\gamma+\sqrt{\beta^{2}\gamma^{2}+1}\right)\). Будь-який з цих виразів зводиться до\( \theta=i\ln[\gamma(1+\beta)]\). Мабуть, ще більш зручний спосіб висловити це:

\[ \theta=i\tanh^{-1}\beta=\frac{1}{2}i\ln\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right). \label{15.7.7} \]

Наприклад, якщо\( \beta\) = 0,8,\( \theta\) = 1.0986\(i\), який може бути записаний (не обов'язково особливо корисно) як\( i%\) 62 ^або 57'.

На цьому етапі ви, напевно, думаєте, що ви віддаєте перевагу версії Equation\( \ref{15.7.5}\), в якій всі величини реальні, а вираз для інтервалу між двома подіями є\( [(\Delta x_{1})^{2}+(\Delta x_{2})^{2}+(\Delta x_{3})^{2}-(\Delta x_{0})^{2}]^{\frac{1}{2}}\). Знак мінус у виразі - це невелика ціна, щоб заплатити за реальність всіх величин. Рівняння\( \ref{15.7.5}\) можна записати

\ [\ почати {pmatrix} х '\\ ct'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ кош\ фі\ сінх\\ сінх\\ сінх\ фі &\ кош\ фі\ кінець {pmatrix}\ почати {pmatrix} х\\ ct\ кінець {pmatrix}\ мітка {15.7.8}\]

де\( \cosh\phi=\gamma,\ \sinh\phi=\beta\gamma,\ \tanh\phi=\beta\). На перший погляд це виглядає набагато простіше.

Немає возитися з уявними кутами. І все ж ця формулювання не позбавлена власного набору труднощів. Наприклад, ні матриця Рівняння,\( \ref{15.7.5}\) ні матриця Рівняння не\( \ref{15.7.8}\) є ортогональними. Ви не можете інвертувати рівняння, щоб знайти\( x\)\( x'\) і\( t\) з точки зору і\( t'\) просто міняючи загрунтовані і незагрунтовані символи і міняючи рядки і стовпці. Зворотне\( \ref{15.7.8}\) рівняння насправді

\ [\ почати {pmatrix} х\\ ct\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ кош\ фі & -\ сінх\ фі\\ -\ сінх\ фі &\ cosh\ phi\ кінець {pmatrix}\ почати {pmatrix} х '\\ ct'\ кінець {pmatrix}\\ кінець {pmatrix}\

який також може (зрозуміло!) бути написаним

\ [\ почати {pmatrix} х\\ ct\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ кош (-\ фі) &\ sinh (-\ phi)\\ sinh (-\ phi) &\ cosh (-\ phi)\ кінець {pmatrix}\ кінець {pmatrix}\ end {pmatrix}\ begin {pmatrix}\ begin {pmatrix}\

який вимагає стільки навичок у роботі з гіперболічними функціями, як і інша формулювання при обробці складних чисел. Ще одна проблема полягає в тому, що формулювання\( \ref{15.7.5}\) не допускає аналогії між перетворенням Лоренца і обертанням осей. Ви приймаєте свій вибір.

Можна помітити, що детермінантами матриць рівнянь\( \ref{15.7.5}\) і\( \ref{15.7.8}\) є кожною одиницею, і тому можна вважати, що кожна матриця ортогональна і що її зворотна - це її транспонування. Але це не так, оскільки умова, що детермінант є інністю, не є достатньою умовою для того, щоб матриця була ортогональною. Необхідні випробування узагальнені в Небесній механіці, розділ 3.7, і буде встановлено, що кілька умов не задовольняються.