15.7: Трансформація Лоренца як обертання

Трансформація Лоренца може бути написана

$$\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\x_{3}'\\x_{4}'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & 0 & 0 & i\beta\gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-i\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix} \label{15.7.1}$$

де$x_{1}=x$,$x_{3}=z$ і$x_{2}=y$$x_{4}=-ict$, і аналогічно для загрунтованих кількостей. Будь ласка, не просто вірте моє слово для цього; помножте матриці і переконайтеся, що це рівняння дійсно представляє перетворення Лоренца. Ви можете, якщо хочете, також написати це коротко:

$$\bf{x'=\lambda x}. \label{15.7.2}$$

Ще один спосіб написання перетворення Лоренца - це

$$\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\x_{3}'\\x_{0}'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & 0 & 0 & \beta\gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{0}\end{pmatrix}, \label{15.7.3}$$

де$x_{1}=x,\ x_{2}=y,\ x_{3}=z$ і$x_{0}=ct$, і аналогічно для загрунтованих кількостей.

Деякі люди віддають перевагу одній версії, інші віддають перевагу іншій. У будь-якому випадку набір з чотирьох величин, що трансформується так, називається вектором 4. Тим, хто не любить версію,$\ref{15.7.1}$ не подобається її через введення уявних величин. Ті, хто любить версію,$\ref{15.7.1}$ вказують на те, що вираз

$$\sqrt{(\Delta x_{1})^{2}+(\Delta x_{2})^{2}+(\Delta x_{3})^{2}+(\Delta x_{4})^{2}} \nonumber$$

(«інтервал» між двома подіями) є інваріантним у чотирипроміжному просторі — тобто має однакове значення у всіх рівномірно рухомих опорних кадрах, так само, як відстань між двома точками в трипросторі$[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}]^{\frac{1}{2}}$, не залежить від положення або орієнтації будь-якого опорного кадру. У$\ref{15.7.3}$ варіанті інваріантний інтервал дорівнює

$$\sqrt{(\Delta x_{1})^{2}+(\Delta x_{2})^{2}+(\Delta x_{3})^{2}+(\Delta x_{0})^{2}}. \nonumber$$

Тим, хто віддає перевагу версії,$\ref{15.7.1}$ не подобається знак мінус у виразі для інтервалу. Тим, хто віддає перевагу версії,$\ref{15.7.3}$ не подобаються уявні величини версії$\ref{15.7.1}$.

На даний момент я збираюся опустити$y$ і$z$, щоб я міг сконцентрувати свою увагу на стосунках між$x$ і$t$. Таким чином, я збираюся написати$\ref{15.7.1}$ як

\ [\ почати {pmatrix} x_ {1} '\ x_ {4}'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix} x '\ ict'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ гамма і\ бета\ -i\ гамма\ кінець {pmatrix}\ початок {pmatrix} x\ ict\ кінець {pmatrix}}\ мітка {15.7.4}\]

і рівняння$\ref{15.7.3}$ як

\ [\ почати {pmatrix} х '\\ ct'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ гамма &\ бета\\ гамма\\ гамма\\ кінець {pmatrix}\ почати {pmatrix} х\ ct\ кінець {pmatrix}\\ кінець {pmatrix}\\ мітка {15.7.5}\]

Читачі можуть помітити, наскільки точно рівняння$\ref{15.7.4}$ нагадує Рівняння для перетворення координат між двома опорними кадрами, нахиленими один до одного під кутом. (Див. Розділ 3.6 Небесної механіки.) Дійсно, якщо ми дозволимо$\cos\theta=\gamma$ і$\sin\theta=i\beta\gamma$, Рівняння$\ref{15.7.4}$ стає

\ [\ почати {pmatrix} х '\\ ict'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ cos\ тета &\ sin\ тета\\\ -\ sin\ тета &\ cos\ тета\ кінець {pmatrix}\ почати {pmatrix} x\\ ct\ кінець {pmatrix}\\ мітка {15.7.6}\]

Матриці в рівняннях$\ref{15.7.1}$,$\ref{15.7.4}$ і$\ref{15.7.6}$ є ортогональними матрицями, і вони задовольняють кожному з критеріїв ортогональності, описаних, наприклад, в розділі Небесної механіки 3.7. Ми можемо отримати зворотні відносини (тобто ми можемо висловити$x$ і з$t$ точки зору$x'$ і$t'$), змінюючи загрунтовані і негрунтовані величини і або змінюючи знак$\beta$ або або змінюючи між собою рядки і стовпці матриці.$\theta$

Існує складність у проведенні аналогії між перетворенням Лоренца, вираженим рівнянням$\ref{15.7.4}$ and rotation of axes as expressed by Equation $\ref{15.7.6}$ in that, since $\gamma>1$,$\theta$ є уявний кут. (На цьому етапі ви можете досягти ваших древніх, крихких, пожовклих нот про складні числа та гіперболічні функції.) Таким чином

$\theta=\cos^{-1}\gamma$і для$\gamma > 1$, це означає, що$\theta=i\cosh^{-1}\gamma=i\ln\left(\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-1}\right)$. І$\theta=\sin^{-1}(i\beta\gamma)=i\sinh^{-1}(\beta\gamma)=i\ln\left(\beta\gamma+\sqrt{\beta^{2}\gamma^{2}+1}\right)$. Будь-який з цих виразів зводиться до$\theta=i\ln[\gamma(1+\beta)]$. Мабуть, ще більш зручний спосіб висловити це:

$$\theta=i\tanh^{-1}\beta=\frac{1}{2}i\ln\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right). \label{15.7.7}$$

Наприклад, якщо$\beta$ = 0,8,$\theta$ = 1.0986$i$, який може бути записаний (не обов'язково особливо корисно) як$i%$ 62 ^або 57'.

На цьому етапі ви, напевно, думаєте, що ви віддаєте перевагу версії Equation$\ref{15.7.5}$, в якій всі величини реальні, а вираз для інтервалу між двома подіями є$[(\Delta x_{1})^{2}+(\Delta x_{2})^{2}+(\Delta x_{3})^{2}-(\Delta x_{0})^{2}]^{\frac{1}{2}}$. Знак мінус у виразі - це невелика ціна, щоб заплатити за реальність всіх величин. Рівняння$\ref{15.7.5}$ можна записати

\ [\ почати {pmatrix} х '\\ ct'\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ кош\ фі\ сінх\\ сінх\\ сінх\ фі &\ кош\ фі\ кінець {pmatrix}\ почати {pmatrix} х\\ ct\ кінець {pmatrix}\ мітка {15.7.8}\]

де$\cosh\phi=\gamma,\ \sinh\phi=\beta\gamma,\ \tanh\phi=\beta$. На перший погляд це виглядає набагато простіше.

Немає возитися з уявними кутами. І все ж ця формулювання не позбавлена власного набору труднощів. Наприклад, ні матриця Рівняння,$\ref{15.7.5}$ ні матриця Рівняння не$\ref{15.7.8}$ є ортогональними. Ви не можете інвертувати рівняння, щоб знайти$x$$x'$ і$t$ з точки зору і$t'$ просто міняючи загрунтовані і незагрунтовані символи і міняючи рядки і стовпці. Зворотне$\ref{15.7.8}$ рівняння насправді

\ [\ почати {pmatrix} х\\ ct\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ кош\ фі & -\ сінх\ фі\\ -\ сінх\ фі &\ cosh\ phi\ кінець {pmatrix}\ почати {pmatrix} х '\\ ct'\ кінець {pmatrix}\\ кінець {pmatrix}\

який також може (зрозуміло!) бути написаним

\ [\ почати {pmatrix} х\\ ct\ кінець {pmatrix} =
\ почати {pmatrix}\ кош (-\ фі) &\ sinh (-\ phi)\\ sinh (-\ phi) &\ cosh (-\ phi)\ кінець {pmatrix}\ кінець {pmatrix}\ end {pmatrix}\ begin {pmatrix}\ begin {pmatrix}\

який вимагає стільки навичок у роботі з гіперболічними функціями, як і інша формулювання при обробці складних чисел. Ще одна проблема полягає в тому, що формулювання$\ref{15.7.5}$ не допускає аналогії між перетворенням Лоренца і обертанням осей. Ви приймаєте свій вибір.

Можна помітити, що детермінантами матриць рівнянь$\ref{15.7.5}$ і$\ref{15.7.8}$ є кожною одиницею, і тому можна вважати, що кожна матриця ортогональна і що її зворотна - це її транспонування. Але це не так, оскільки умова, що детермінант є інністю, не є достатньою умовою для того, щоб матриця була ортогональною. Необхідні випробування узагальнені в Небесній механіці, розділ 3.7, і буде встановлено, що кілька умов не задовольняються.