15.21: Маса

Загальновідомо, що «у відносності» маса об'єкта збільшується зі збільшенням його швидкості. Це може бути добре відомо, але я не впевнений, що це дуже точне твердження справжньої ситуації. Або, принаймні, це не точніше, ніж сказати, що довжина стрижня зменшується зі збільшенням його швидкості. Довжина стрижня, коли згадується рама, в якій він знаходиться в стані спокою, називається його належною довжиною\( l_{0}\), а маса тіла, коли згадується рама, в якій він знаходиться в стані спокою, називається його маса спокою\( m_{0}\), і обидві ці речі є інваріантними. Довжина стрижня, коли йдеться про опорну рамку, яка рухається по відношенню до нього (тобто мовою Мінковського, його складова уздовж похилій осі) і маса тіла, що відноситься до рами, яка рухається по відношенню до нього, дійсно може відрізнятися від належної довжини стрижня або решти маси тіло.

Для того, щоб вивести скорочення Фіцджеральда-Лоренца, нам довелося подумати про те, що ми маємо на увазі під «довжиною» і як її виміряти. Так само, щоб вивести «релятивістське збільшення маси» (що може бути неправильним), ми повинні подумати про те, що ми маємо на увазі під масою і як її виміряти.

Фундаментальною одиницею маси, яка використовується в даний час в науці, є Міжнародний прототип Кілограм, платино-іридієвий сплав, що проводиться в Севр, Париж, Франція. Для того щоб визначити масу, або інерцію, іншого тіла, нам потрібно провести експеримент, щоб порівняти його небажання прискорюватися при прикладанні до нього сили з небажанням стандартного кілограма при прикладі тієї ж сили. Ми можемо, наприклад, прикріпити тіло до пружини, розтягнути пружину, відпустити і подивитися, як швидко тіло прискорюється. Потім проводимо той же експеримент з Міжнародним кілограмом прототипу. Або ми можемо застосувати імпульс (\( \int Idt\)- див. Розділ 8) до тіла і до Кілограма, і виміряти швидкість відразу після застосування імпульсу. Це може бути зроблено, наприклад, але вражає тіло і кілограм з гольф-клубом, або, для більш контрольованого експерименту, один може натиснути кожне тіло до стисненої пружини, звільнити пружину, і виміряти результуючі швидкість, надані тілу і кілограм. (Цілком імовірно, що Міжнародний прототип Кілограм тримається під якоюсь охороною, і його куратори можуть не зовсім оцінити подібні експерименти, тому, можливо, ці експерименти краще залишитися Мисливими експериментами.) Ще одним методом було б змусити тіло і кілограм зіткнутися один з одним, і припустити, що зіткнення є еластичним (немає внутрішніх ступенів свободи) і що імпульс (визначається як добуток маси і швидкості) зберігаються.

Всі ці експерименти вимірюють небажання прискорюватися під силою; іншими словами інерція або інерційна маса або просто маса тіла.

Іншим можливим експериментом для визначення маси тіла було б розмістити його та Кілограм на виміряній відстані від іншої маси (наприклад, Землі) та виміряти гравітаційну силу (вагу) кожної. У одного виникає непросте відчуття, що такого роду вимірювання якось трохи відрізняється від інших, в тому, що це не міра інерції. Деякі дійсно розрізняють інерційну масу та гравітаційну масу тіла, хоча насправді ці два спостерігаються строго пропорційні один одному. Деякі не вважають пропорційність між інерційною та гравітаційною масою особливо чудовою; для інших пропорційність є дивовижним фактом глибокого значення.

У цьому розділі ми не маємо справу із загальною відносністю чи гравітацією, тому ми будемо думати про масу з точки зору її інерції. Я збираюся виміряти співвідношення двох мас (одна з яких може бути Міжнародним кілограмом прототипу), дозволяючи їм зіткнутися, і їх маси повинні бути визначені, припускаючи, що імпульс системи зберігається у всіх рівномірно рухомих еталонних кадрах.

На малюнку XV.34 показані два опорні кадри\( \Sigma'\),\( \Sigma\) причому, останні рухаються вправо зі швидкістю\( v\) щодо першого. Два тіла, однакових мас в\( \Sigma'\) (тобто відносяться до кадру\( \Sigma'\)), рухаються зі швидкістю\( u'\) в\( \Sigma'\), одне з них вправо, інше - вліво. Їх взаємний центр маси нерухомий в\( \Sigma'\).

Тепер віднесемо ситуацію до кадру\( \Sigma\) (див. Рис. XV.35).

Загальний імпульс системи в\( \Sigma\) є\( m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\). Але центр маси (який нерухомий в\( \Sigma'\)) рухається вправо в\( \Sigma\) зі швидкістю\( v\). Тому імпульс також є\( (m_{1}+m_{2})v\). Якщо вони злипаються при зіткненні, нам залишається одна частинка маси\( v\), що\( m_{1}+m_{2}\) рухається зі швидкістю, і, оскільки зовнішніх сил немає, імпульс зберігається. У будь-якому випадку, пружне зіткнення чи ні, ми маємо

\[ m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=(m_{1}+m_{2}). \label{15.21.1} \]

Але

\[ u_{1}=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^{2}}} \label{15.21.2a}\tag{15.21.2a} \]

і

\[ u_{2}=\frac{-u'+v}{1-\frac{u'v}{c^{2}}} \label{15.21.2b}\tag{15.21.2b} \]

Наша мета полягає в тому, щоб спробувати знайти зв'язок між масами і швидкістю, про які йдеться\( \Sigma\). Тому ми повинні виключити\( v\) і\( u'\) з Рівняння\( \ref{15.21.1}\),\( \ref{15.21.2a}\) і\( \ref{15.21.2b}\). Це може бути трохи хитро, але алгебра проста, і я залишаю її читачеві, щоб показати, що результат є

\[ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{u_{2}^{2}}{c^{2}}}{1-\frac{u_{1}^{2}}{c^{2}}}} \label{15.21.3} \]

Це говорить нам про те, що\( m\) маса тіла, про яку\( \Sigma\) йдеться, пропорційна\( \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\), де\( u\) йдеться про його швидкість\( \Sigma\). Якщо називати константу пропорційності\( m_{0}\), то

\[ m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}} \label{15.21.4} \]

Якщо\( u=0\), то\( m=m_{0}\), і\( m_{0}\) називається маса відпочинку, і це маса, коли згадується каркас, в якому тіло знаходиться в стані спокою. \( m\)Масу, як правило, називають релятивістською масою, і це маса, коли згадується кадр, в якому швидкість тіла\( u\).

Рівняння\( \ref{15.21.4}\) дає масу, на яку йдеться,\( \Sigma\) припускаючи, що маса знаходиться в стані спокою\( \Sigma'\). Але що робити, якщо маса не знаходиться в стані спокою\( \Sigma'\)?

На малюнку XV.36 ми бачимо масу\( m'\) moving with velocity \( \bf{u'}\) in \( \Sigma'\). Referred to \( \Sigma\) its mass will be \( m\), where

\[ \frac{m}{m'}=\sqrt{\frac{1-\frac{u'^{2}}{c^{2}}}{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}. \label{15.21.5} \]

Its velocity \( \bf{u}\) will be in a different direction (referred to \( \Sigma\)) from the direction of \( \bf{u'}\) in \( \Sigma'\), and the speed will be given by

\[ u^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2} \label{15.21.6} \]

where \( u_{x}\) and \( u_{y}\) are given by Equations 15.16.2 and 15.16.3. Substitute Equations \( \ref{15.21.6}\), 15.16.2 and 15.16.3 into Equation \( \ref{15.21.5}\). The objective is to replace \( u\) entirely by primed quantities. The algebra is slightly boring, but it is worth persisting. You will find that \( u'^{2}_{y'}\) appears when you use Equation 15.16.3. Replace that by \( u'^{2}-u_{x'}'^{2}\). Also write \( \frac{1}{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}\) for \( \gamma^{2}\). After a little while you should arrive at

\[ \frac{m}{m'}=\gamma\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right). \label{15.21.7} \]

The transformation for mass between the two frames depends only on the \( x'\) component of its velocity in \( \Sigma'\). It would have made no difference, other than to increase the tedium of the algebra, if I had added \( +u_{z}^{2}\) to the right hand side of Equation \( \ref{15.21.6}\).

The inverse of Equation \( \ref{15.21.7}\) is found in the usual way by interchanging the primed and unprimed quantities and changing the sign of \( v\):

\[ \frac{m'}{m}=\gamma\left(1-\frac{vu_{x}}{c^{2}}\right). \label{15.21.8} \]

Example.

Example \(\PageIndex{1}\)

Let’s return to the problem of the dachshund that we met in Section 15.16. A railway train \( \Sigma'\) is trundling along at a speed \( \frac{v}{c}\) = 0.9 (\( \gamma\) = 2.294). The dachshund is waddling towards the front of the train at a speed \( \frac{u'_{x'}}{c}\). In the reference frame of the train \( \Sigma'\) the mass of the dog is \( m'\) = 8 kg. In the reference frame of the railway station, the mass of the dog is given by Equation \( \ref{15.21.7}\) and is 31.6 kg. (Its length is also much compressed, so it is very dense when referred to \( \Sigma\) and is disc-shaped.)

I leave it to the reader to show that the rest mass of the dog is 4.8 kg.