15.24: Кінетична енергія

Якщо сила$\bf{F}$ діє на частинку, що рухається зі швидкістю$\bf{u}$, швидкість виконання роботи - тобто швидкість збільшення кінетичної енергії$T$ дорівнює$\dot{T}=\bf{F\cdot u}$. Але$\bf{F=\dot{p}}$ де$\bf{p}=m\bf{u}=\gamma m_{0}u$.

(Пункт про позначення тут може бути в порядку. Я використовував символ$\bf{v}$ і$v$ для швидкості та швидкості кадру$\Sigma'$ щодо кадру$\Sigma$, і мій вибір осей без значної втрати спільності був таким, який$\bf{v}$ був спрямований паралельно$x$ -осі. Я використовував символ$\bf{u}$ для швидкості (speed =$u$) частинки щодо кадру$\Sigma$. Зазвичай символ$\gamma$ означав$\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}$, але тут я використовую його, щоб означати$\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}$. Я сподіваюся, що це не викликає занадто великої плутанини і що контекст дасть зрозуміти це. Я грав з ідеєю використовувати інший символ, але я думав, що це може погіршити ситуацію. Просто будьте насторожі, все одно.)

У нас є, тоді

$$\bf{F}=m_{0}(\dot{\gamma}u+\gamma\dot{u}) \label{15.24.1}$$

і тому

$$\dot{T}=m_{0}(\dot{\gamma}u^{2}+\gamma\bf{\dot{u}\cdot u}). \label{15.24.2}$$

Використовуючи рівняння 15.23.5 та 15.23.6, отримано

$$\dot{T}=\dot{\gamma}m_{0}c^{2} \label{15.24.3}$$

Інтегруємо по відношенню до часу, з умовою, що коли$\gamma$ = 1,$T$ = 0, і отримаємо наступний вираз для кінетичної енергії:

$$T=(\gamma-1)m_{0}c^{2}. \label{15.24.4}$$

Вправа. Розгорніть$\gamma$ біноміальною теоремою$\frac{u^{2}}{c^{2}}$, наскільки, і показати, що, до цього порядку,$T=\frac{1}{2}mu^{2}$.

Я тут введу безрозмірний символ

$$K=\frac{T}{m_{0}c^{2}}=\gamma-1 \label{15.24.5}$$

означати кінетичну енергію в одиницях$m_{0}c^{2}$. Друга половина цього вже була дана як Рівняння 15.3.5.