15.24: Кінетична енергія

Якщо сила\( \bf{F}\) діє на частинку, що рухається зі швидкістю\( \bf{u}\), швидкість виконання роботи - тобто швидкість збільшення кінетичної енергії\( T\) дорівнює\( \dot{T}=\bf{F\cdot u}\). Але\( \bf{F=\dot{p}}\) де\( \bf{p}=m\bf{u}=\gamma m_{0}u\).

(Пункт про позначення тут може бути в порядку. Я використовував символ\( \bf{v}\) і\( v\) для швидкості та швидкості кадру\( \Sigma'\) щодо кадру\( \Sigma\), і мій вибір осей без значної втрати спільності був таким, який\( \bf{v}\) був спрямований паралельно\( x\) -осі. Я використовував символ\( \bf{u}\) для швидкості (speed =\( u\)) частинки щодо кадру\( \Sigma\). Зазвичай символ\( \gamma\) означав\( \left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}\), але тут я використовую його, щоб означати\( \left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}\). Я сподіваюся, що це не викликає занадто великої плутанини і що контекст дасть зрозуміти це. Я грав з ідеєю використовувати інший символ, але я думав, що це може погіршити ситуацію. Просто будьте насторожі, все одно.)

У нас є, тоді

\[ \bf{F}=m_{0}(\dot{\gamma}u+\gamma\dot{u}) \label{15.24.1} \]

і тому

\[ \dot{T}=m_{0}(\dot{\gamma}u^{2}+\gamma\bf{\dot{u}\cdot u}). \label{15.24.2} \]

Використовуючи рівняння 15.23.5 та 15.23.6, отримано

\[ \dot{T}=\dot{\gamma}m_{0}c^{2} \label{15.24.3} \]

Інтегруємо по відношенню до часу, з умовою, що коли\( \gamma\) = 1,\( T\) = 0, і отримаємо наступний вираз для кінетичної енергії:

\[ T=(\gamma-1)m_{0}c^{2}. \label{15.24.4} \]

Вправа. Розгорніть\( \gamma\) біноміальною теоремою\( \frac{u^{2}}{c^{2}}\), наскільки, і показати, що, до цього порядку,\( T=\frac{1}{2}mu^{2}\).

Я тут введу безрозмірний символ

\[ K=\frac{T}{m_{0}c^{2}}=\gamma-1 \label{15.24.5} \]

означати кінетичну енергію в одиницях\( m_{0}c^{2}\). Друга половина цього вже була дана як Рівняння 15.3.5.