15.23: Деякі математичні результати

Перш ніж приступити до наступного розділу, я просто хочу встановити кілька математичних результатів, щоб ми не загрузли у важкій алгебрі пізніше, коли ми повинні зосередитися на розумінні фізики.

По-перше, якщо

$$\gamma=\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right), \label{15.23.1}$$

Потім, шляхом тривіальної диференціації,

$$\frac{d\gamma}{du}=\frac{\gamma^{3}u}{c^{2}}. \label{15.23.2}$$

$$\dot{\gamma}=\frac{\gamma^{3}u\dot{u}}{c^{2}}. \label{15.23.3}$$

З цього ми швидко виявляємо, що

$$\frac{\gamma u\dot{u}}{\dot{\gamma}}=c^{2}-u^{2}. \label{15.23.4}$$

Тепер для невеликого результату, що стосується скалярного (крапкового) добутку.

Нехай A вектор такий, що A * A =$A^{2}$.

Тоді

$\frac{d}{dt}(A^{2})=2A\dot{A}$ and $\frac{d}{dt}(\bf{A\cdot A})=2A\cdot\dot{A}$

$$A\cdot\dot{A}=A\dot{A} \label{15.23.6}$$

Тепер можемо сміливо переходити до наступного розділу.