Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.23: Деякі математичні результати

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75774

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перш ніж приступити до наступного розділу, я просто хочу встановити кілька математичних результатів, щоб ми не загрузли у важкій алгебрі пізніше, коли ми повинні зосередитися на розумінні фізики.

    По-перше, якщо

    \[ \gamma=\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right), \label{15.23.1} \]

    Потім, шляхом тривіальної диференціації,

    \[ \frac{d\gamma}{du}=\frac{\gamma^{3}u}{c^{2}}. \label{15.23.2} \]

    \[ \dot{\gamma}=\frac{\gamma^{3}u\dot{u}}{c^{2}}. \label{15.23.3} \]

    З цього ми швидко виявляємо, що

    \[ \frac{\gamma u\dot{u}}{\dot{\gamma}}=c^{2}-u^{2}. \label{15.23.4} \]

    Тепер для невеликого результату, що стосується скалярного (крапкового) добутку.

    Нехай A вектор такий, що A * A =\( A^{2}\).

    Тоді

    \( \frac{d}{dt}(A^{2})=2A\dot{A}\) and \( \frac{d}{dt}(\bf{A\cdot A})=2A\cdot\dot{A}\)

    \[ A\cdot\dot{A}=A\dot{A} \label{15.23.6} \]

    Тепер можемо сміливо переходити до наступного розділу.