15.16: Додавання швидкостей

Залізничний поїзд рухається на схід зі швидкістю\( \nu_{1}\), а пасажир гуляє до фронту зі швидкістю\( \nu_{2}\). Яка швидкість пасажира щодо залізничного вокзалу? Спочатку ми можемо спокуситися відповісти: «Чому,\( \nu_{1}+\nu_{2}\) звичайно». У цьому розділі ми покажемо, що відповідь, передбачена з перетворень Лоренца, трохи менше цього, і ми розробимо формулу її обчислення. Ми вже обговорювали (у розділі 15.6) нашу відповідь на заперечення, що це кидає виклик здоровому глузду. Ми вказали там, що відповідь (на цілком розумне заперечення) про те, що «на швидкості, до яких ми звикли, ми навряд чи помітили б різницю», не є задовільною відповіддю. Причина того, що результуюча швидкість трохи менше, ніж\( \nu_{1}+\nu_{2}\) результат того, як ми визначили перетворення Лоренца між еталонними кадрами та способу визначення відстаней та часових інтервалів з посиланням на опорні кадри в рівномірному відносному русі

На малюнку XV.17 показані два опорні кадри\( \Sigma'\),\( \Sigma\) причому, останні рухаються\( \nu\) зі швидкістю щодо першого. Частка рухається зі швидкістю\( \bf{u'}\) в\( \Sigma'\), з компонентами\( u'_{x'}\) і\( u'_{y'}\). («in\( \Sigma'\)» = «посилається на систему відліку\( \Sigma'\)».)

Яка швидкість частинки в\( \Sigma\)?

Почнемо з\( x\) -компонента.

У нас є:

\[ u=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{\left(\dfrac{\partial x}{\partial x'}\right)_{t'}dx'+\left(\dfrac{\partial x}{\partial t'}\right)_{x'}dt'}{\left(\dfrac{\partial t}{\partial x'}\right)_{t'}dx'+\left(\dfrac{\partial t}{\partial t'}\right)_{x'}dt'}=\dfrac{\left(\dfrac{\partial x}{\partial x'}\right)_{t'}u'+\left(\dfrac{\partial x}{\partial t'}\right)_{x'}}{\left(\dfrac{\partial t}{\partial x'}\right)_{t'}u'+\left(\dfrac{\partial t}{\partial t'}\right)_{x'}} \label{15.16.1} \]

Беремо похідні від Рівняння 15.15.3a, b, c, d, і,\( \dfrac{\nu}{c}\) записуючи для\( \beta\), отримуємо

\[ u_{x}=\dfrac{u'_{x}+\nu}{1+u'_{x'}\dfrac{\nu}{c^{2}}}. \label{15.16.2} \]

Зворотне виходить шляхом зміни загрунтованого і незагрунтованого символів і зворотного знака\( \nu\).

\( y\)-компонент зустрічається точно подібним чином, і я залишаю його виведення читачеві. Результат -

\[ u_{y}=\dfrac{u'+\nu}{1+u'\dfrac{\nu}{c^{2}}} \label{15.16.3} \]

Особливі випадки:

1. Якщо\( u'_{x'}=u'\) і\( u'_{y'}=0\), то
   \[ u_{x}=\dfrac{u'+\nu}{1+u'\dfrac{\nu}{c^{2}}} \label{15.16.4a}\tag{15.16.4a} \]
   \[ u_{y}=0 \label{15.16.4b}\tag{15.16.4b} \]
2. Якщо\( u'_{x'}=0\) і\( u'_{y'}=u'\) тоді
   \[ u_{x}=\nu \label{15.16.5a}\tag{15.16.5a} \]
   \[ u_{y}=\dfrac{u'}{\gamma} \label{15.16.5b}\tag{15.16.5b} \]

Рівняння\( \ref{15.16.4a}\), як написано, нелегко вкласти в пам'ять, хоча це досить простіше, якщо ми пишемо\( \beta_{1}=\dfrac{\nu}{c},\ \beta_{2}=\dfrac{u'}{c}\) і\( \beta=\dfrac{u_{x}}{c}\). Тоді рівняння стає

\[ \beta=\dfrac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}} \label{15.16.6} \]

На малюнку XV.18 поїзд\( \Sigma'\) рухається зі швидкістю\( \beta_{1}\) (в рази більше швидкості світла) вправо, а пасажир рухається вперед зі швидкістю\( \beta_{2}\). \( \beta\)Швидкість пасажира щодо станції потім\( \Sigma\) задається рівнянням\( \ref{15.16.6}\). На малюнку XV.19 два поїзди, один рухається зі швидкістю,\( \beta_{1}\) а інший рухається зі швидкістю\( \beta_{2}\), рухаються назустріч один одному. (Якщо ви віддаєте перевагу думати про протони, а не про поїзди, це нормально.) Знову ж таки, відносна швидкість b одного поїзда щодо іншого задається рівнянням\( \ref{15.16.6}\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Поїзд крутиться вправо на 90% швидкості світла відносно\( \Sigma\), а пасажир ходить вправо на 15% швидкості світла відносно\( \Sigma '\). Швидкість пасажира щодо\( \Sigma\) становить 92,5% від швидкості світла.

Співвідношення між\( \beta_{1}\)\( \beta_{2}\) і\( \beta\) показано графічно на малюнку XV.20.

Якщо я використовую позначення,\( \dfrac{\beta_{1}}{\beta_{2}}\) щоб означати «поєднання\( \beta_{1}\) з\( \beta_{2}\)», я можу написати рівняння\( \ref{15.16.6}\) як

\[ \beta_{1}\oplus\beta_{2}=\dfrac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}} \label{15.16.7} \]

Ви можете помітити схожість Рівняння\( \ref{15.16.6}\)\( \beta=\dfrac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{1}}\) з гіперболічною функцією

\[ \tanh(\phi_{1}+\phi_{2})=\dfrac{\tanh\phi_{1}+\tanh\phi_{2}}{1+\tanh\phi_{1}\tanh\phi_{2}} \label{15.16.8} \]

Таким чином, я можу представляти швидкість об'єкта, даючи значення\( \phi\), де

\[ \beta = \tanh\phi \label{15.16.9} \]

або

\[ \phi=\tanh^{-1}\beta=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+\beta}{1-\beta}\right) \label{15.16.10} \]

Фактор\( \phi\) поєднує в собі просто, як

\[ \dfrac{\phi_{2}}{\phi_{2}}=\phi_{1}+\phi_{2} \label{15.16.11} \]

Якщо ви зробили те, що я запропонував у розділі 15.3 і запрограмували свій калькулятор або комп'ютер для миттєвого перетворення з одного коефіцієнта відносності в інший, тепер у вас є швидкий спосіб додавання швидкості.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Поїзд крутиться вправо на 90% швидкості світла (\( \phi_{1}\)= 1,47222) щодо S, а пасажир рухається вправо на 15% швидкості світла (\( \phi_{2}\)= 0,15114) відносно\( \Sigma'\). Швидкість пасажира щодо\( \Sigma\) становить\( \phi\) = 1,62336, або 92,5% від швидкості світла.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

(Вибачте — немає малюнка XV.21.)

Океанський\( \Sigma'\) лайнер безтурботно пливе на схід зі швидкістю\( \beta_{1}\)\( g_{1}\) = 0,9\( c\) (= 2,29416) відносно океану\( \Sigma\). Пасажир б'є на кораблі зі швидкістю\( \beta_{2}\) = 0,5\( c\) щодо корабля. Яка швидкість руху пасажира щодо океану?

Північна складова її швидкості задається рівнянням\( \ref{15.16.5b}\), і дорівнює 0,21794\( c\). Її східна складова - всього 0,9\( c\). Її швидкість відносно океану, отже, 0.92601\( c\) у напрямку 13 ^o 37' на північ від сходу.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Показати, що, якщо швидкість океанського лайнера є,\( \beta_{1}\) а швидкість атварійного корабля пасажира дорівнює\( \beta_{2}\), то результуюча швидкість\( \beta\) пасажира щодо океану задається

\[ \beta^{2}=\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}-\beta_{1}^{2}\beta_{2}^{2} \label{15.16.12} \]

і що її швидкість складає і кут\( \alpha\) зі швидкістю корабля, заданої

\[ \tan\alpha=\beta_{2}\sqrt{1-\dfrac{\beta_{1}^{2}}{\beta_{1}}}. \label{15.16.13} \]

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Залізничний поїзд\( \Sigma'\) належної довжини\( L_{0}\) = 100 ярдів гримить повз залізничну станцію з такою\( \Sigma\) швидкістю, що майстер станції вважає, що його довжина становить всього 40 ярдів. (Виправлення: Справа не в тому, що він «думає». Що я повинен був сказати, це те, що довжина поїзда, що відноситься до опорної рамки,\( \Sigma\) в якій майстер станції знаходиться в стані спокою, становить 40 ярдів.) Такса ходить по коридору до передньої частини поїзда. (Такса, або борсуковий гончак, - це циліндрична собака, правильна довжина якої зазвичай в кілька разів перевищує діаметр.) Належна довжина\( l_{0}\) такси становить 24 дюйми, але сидячому пасажиру вона, здається,... ні, вибачте, я маю на увазі, що її довжина, що відноситься до опорної рами\( \Sigma'\), становить 15 дюймів. Яку довжину таксу відносять до опорної рами,\( \Sigma\) в якій господар станції знаходиться в стані спокою?

Нам кажуть, по суті, що швидкість поїзда щодо станції задається\( \gamma_{1}\) = 2,5, а що швидкість такси щодо поїзда дається на\( \gamma_{2}\) = 1,6. Отже, як ці дві гами поєднуються, щоб зробити фактор\( \gamma\) для такси щодо станції?

Існує кілька способів, за допомогою яких ви могли б вирішити цю проблему. Одним з них є розробка загального алгебраїчного методу об'єднання двох гамма-факторів. Таким чином:

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Показати, що два гамма-фактори поєднуються відповідно до

\[ \gamma_{1}\oplus\gamma_{2}=\gamma_{1}\gamma_{2}+\sqrt{(\gamma_{1}^{2}-1)(\gamma_{2}^{2}-1)}. \label{15.16.14} \]

Я залишу тебе спробувати це. Інший спосіб - скористатися програмою, яку ви написали під час читання Розділу 15.3, за допомогою якої ви можете миттєво перетворити один коефіцієнт відносності в інший. Таким чином, ви миттєво конвертуєте гамми в фіс.

Таким чином\( \gamma_{1}=2.5\ \Rightarrow\ \phi_{1}=1.56680\)

і\( \gamma_{1}=1.6\ \Rightarrow\ \phi_{1}=1.04697\)

\( \therefore \qquad \qquad \qquad \phi=2.61377\ \Rightarrow\ \gamma=6.86182\)

Це те, що Рівняння\( \ref{15.16.14}\) отримує?

Тому, віднесена до залізничного вокзалу, довжина такси\( \dfrac{24}{\gamma}\) = 3,5 дюйма.