8.1: Консервативні сили

У главі 7 ми ввели поняття роботи\(W\), виконаної силою\(\vec F(\vec r)\), що діє на об'єкт, коли він рухається по шляху з положення\(A\) в положення\(B\):

\[W=\int_{A}^{B} \vec F (\vec r)\cdot d\vec l\]

де\(\vec F(\vec r)\) - вектор сили, який, як правило, різний на різних позиціях в просторі (\(\vec r\)). Ми також можемо сказати, що\(\vec F\) залежить від положення шляхом написання\(\vec F(\vec r)=\vec F(x,y,z)\), оскільки вектор позиції\(\vec r\), - це просто вектор\(\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z\). Тобто,\(\vec F(\vec r)\) є лише коротким позначенням руки для\(\vec F(x,y,z)\), і\(d\vec l\) є (дуже) невеликим відрізком уздовж конкретного шляху, за яким обчислюється робота.

Вищевказаний інтеграл, як правило, важко оцінити, оскільки він залежить від конкретного шляху, по якому перемістився об'єкт. У прикладі 7.1.2 глави 7 ми розрахували роботу, виконану тертям на обрешітку, яка була ковзана по підлозі двома різними шляхами і дійсно виявили, що робота залежить від шляху, який був зроблений. У прикладі 7.1.3 тієї ж глави ми побачили, що робота, виконана силою тяжіння при переміщенні коробки по двох різних шляхах, не залежала від обраного шляху ¹.

Ми називаємо «консервативними силами» ті сили, для яких виконана робота залежить тільки від початкових і кінцевих позицій, а не від шляху, пройденого між цими двома позиціями. «Неконсервативні» сили - це ті, для яких виконана робота дійсно залежить від пройденого шляху. Сила тяжіння - приклад консервативної сили, тоді як тертя - приклад неконсервативної сили.

Це означає, що робота, виконана консервативною силою на «замкнутому шляху», дорівнює нулю; тобто робота, виконана консервативною силою над об'єктом, дорівнює нулю, якщо об'єкт рухається по шляху, який повертає його в початкове положення. Дійсно, оскільки робота, виконана консервативною силою, залежить тільки від розташування початкової та кінцевої позицій, а не шляху, пройдений між ними, робота повинна бути нульовою, якщо об'єкт закінчується в тому ж місці, де він почався (можливий шлях, щоб об'єкт взагалі не рухався).

Розглянемо роботу, виконану гравітацією при піднятті (зміщенні\(\vec d_1\)) і опусканні (зміщенні\(\vec d_2=-\vec d_1\)) об'єкта назад у вихідне положення по вертикальному шляху, як зображено на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Об'єкт, який перемістився вгору і назад вниз.

Загальна робота, виконана гравітацією на цьому конкретному замкнутому шляху, легко показана нульовою, оскільки роботу можна розбити на негативну роботу, виконану під час руху об'єкта вгору (вектор переміщення\(\vec d_1\)) та позитивну роботу, виконану під час руху об'єкта вниз (вектор зміщення\(\vec d_2\)):

\[\begin{aligned} W^{tot} = \vec F_g \cdot \vec d_1 + \vec F_g \cdot \vec d_2 = -mgd + mgd = 0 \end{aligned}\]

Для того, щоб записати інтеграл шляху сили над замкнутим шляхом, вводимо нове позначення, яке вказує на те, що початкова і кінцева позиції однакові:

\[\begin{aligned} \int_A^A \vec F(\vec r) \cdot d\vec l = \oint \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\end{aligned}\]

Умова для того, щоб сила була консервативною, таким чином:

\[\oint \vec F(\vec r) \cdot d\vec \ =0\]

так як це означає, що робота, виконана по замкнутому шляху, дорівнює нулю. Умова для цього інтеграла рівним нулю можна знайти за теоремою Стокса:

\[\begin{aligned} \oint \vec F(\vec r) \cdot d\vec l = \int_S \left[\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right)\hat x+ \left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right)\hat y + \left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right)\hat z \right]\cdot d\vec A\end{aligned}\]

де інтеграл праворуч називається «поверхневим інтегралом» над поверхнею\(S\), укладеним замкнутим шляхом, по якому проводиться розрахунок роботи. Не хвилюйтеся, це далеко за рамки цього тексту, щоб детально зрозуміти цей інтеграл або теорему Стокса! Однак це корисно тим, що він дає нам такі умови щодо компонентів сили, щоб ця сила була консервативною (вимагаючи, щоб терміни в дужках були нульовими):

\[\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}=0\]

\[\frac{\partial F_{x}}{\partial x}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}=0\]

\[\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}=0\]

Загалом:

1. Сила може бути консервативною, якщо вона залежить лише від положення в просторі, а не від швидкості, часу чи будь-якої іншої кількості.
2. Сила консервативна, якщо вона постійна за величиною і напрямком.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Ви штовхаєте ящик з точки\(A\) to point \(B\) along a horizontal surface. Is the force you exert a conservative force?

1. Так
2. Ні
3. Недостатньо інформації

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Чи є сила тяжіння на об'єкт маси\(m\), near the surface of the Earth, given by:

\[\begin{aligned} \vec F(x,y,z) =0\hat x + 0\hat y -mg \hat z\end{aligned}\]

консервативний? Зверніть увагу, що ми визначили\(z\) axis to be vertical and positive upwards.

Рішення:

Очікується, що сила буде консервативною, оскільки вона постійна за величиною та напрямком. Ми можемо перевірити це, використовуючи умови рівняння 8.1.3, 8.1.4 та 8.1.5:

\[\begin{aligned} \frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z} &= \frac{\partial}{\partial y}(-mg) - 0 &= 0\\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x} &= 0 - \frac{\partial}{\partial x}(-mg) &= 0\\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} &= 0 - 0 &=0\end{aligned}\]

і сила дійсно консервативна, оскільки всі три умови нульові.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Чи консервативна наступна сила?

\[\begin{aligned} \vec F(x,y,z) = \frac{-k}{r^3}\vec r = \frac{-kx}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\hat x + \frac{-ky}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\hat y + \frac{-kz}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\hat z\end{aligned}\]

Рішення:

Оскільки сила залежить лише від положення, вона може бути консервативною, тому ми повинні перевірити, використовуючи умови Рівняння 8.1.3, 8.1.4 та 8.1.5:

\[\begin{aligned} \frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z} &= \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{-kz}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{-ky}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\right)\\ &=\frac{3kz(2y)}{2(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}-\frac{3ky(2z)}{2(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}} = 0\\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{-kx}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{-kz}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\right)\\ &=\frac{3kx(2z)}{2(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}-\frac{3kz(2x)}{2(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}} = 0\\ \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-ky}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{-kx}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\right)\\ &=\frac{3ky(2x)}{2(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}-\frac{3kx(2y)}{2(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}} = 0\end{aligned}\]

де ми використовували правило ланцюга, щоб взяти похідні. Так як всі умови нульові, сила консервативна. Як ми побачимо, представлена тут сила математично подібна як до сили, яку Ньютон ввів у свою Універсальну теорію тяжіння, так і на силу, введену Кулоном як електричну силу, які обидва є консервативними.

Виноски

1. Принаймні для тих двох шляхів, які ми спробували в прикладі.