14.2: Консервативні та неконсервативні сили

Наш перший тип «обліку енергії» передбачає механічну енергію. Існує два типи механічної енергії, кінетична енергія та потенційна енергія. Наше перше завдання - визначити, що ми маємо на увазі під зміною потенційної енергії системи.

Ми визначили роботу\(\overrightarrow{\mathrm{F}}\), виконану силою, над об'єктом, який рухається по шляху з початкового положення\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{i}\) в кінцеве положення\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{f}\), як інтеграл складової сили, дотичної до шляху щодо зміщення точки дотику сили і об'єкта,

\[W=\int_{\text {path }} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}} \nonumber \]

Чи залежить робота, виконана над об'єктом силою від шляху, пройденого об'єктом?

Малюнок 14.2 (a) і (b) Два різних шляху, що з'єднують однакові початкові та кінцеві точки

Спочатку розглянемо рух об'єкта під впливом сили тяжіння біля поверхні землі. Розглянемо два шляхи 1 і 2, показані на малюнку 14.2. Обидва шляхи починаються в початковій точці\(\left(x_{i}, y_{i}\right)=\left(0, y_{i}\right)\) і закінчуються в кінцевій точці\(\left(x_{f}, y_{f}\right)=\left(x_{f}, 0\right)\). Гравітаційна сила завжди вказує вниз, тому з нашим вибором координат,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}=-m g \hat{\mathbf{j}}\). Нескінченно мале зсув по шляху 1 (рис. 14.2а) задається шляхом\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=d x_{1} \hat{\mathbf{i}}+d y_{1} \hat{\mathbf{j}}\). Скалярний добуток тоді

\[\overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=-m g \hat{\mathbf{j}} \cdot\left(d x_{1} \hat{\mathbf{i}}+d y_{1} \hat{\mathbf{j}}\right)=-m g d y_{1} \nonumber \]

Робота, виконана самопливом по шляху 1, є інтегральною

\[W_{1}=\int_{\text {path } 1} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\int_{\left(0, y_{i}\right)}^{\left(x_{f}, 0\right)}-m g d y_{1}=-m g\left(0-y_{i}\right)=m g y_{i} \nonumber \]

Шляху 2 складається з двох катетів (рис. 14.2b), ніжка А йде від початкової точки\(\left(0, y_{i}\right)\) до початку (0,0), а нога B йде від початку (0,0) до кінцевої точки\(\left(x_{f}, 0\right)\). Розрахуємо виконану роботу уздовж двох ніг і потім підсумуємо їх. Нескінченно мале зсув уздовж ніжці A задається\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{A}=d y_{A} \hat{\mathbf{j}}\). Скалярний добуток тоді

\[\overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{A}=-m g \hat{\mathbf{j}} \cdot d y_{A} \hat{\mathbf{j}}=-m g d y_{A} \nonumber \]

Робота, виконана гравітацією уздовж ноги А, є невід'ємною

\[W_{A}=\int_{\operatorname{leg} A} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{\mathrm{A}}=\int_{\left(0, y_{i}\right)}^{(0,0)}-m g d y_{A}=-m g\left(0-y_{i}\right)=m g y_{i} \nonumber \]

Нескінченно мале зсув уздовж ноги В задається\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{B}=d x_{B} \hat{\mathbf{i}}\). Скалярний добуток тоді

\[\overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{B}=-m g \hat{\mathbf{j}} \cdot d x_{B} \hat{\mathbf{i}}=0 \nonumber \]

Тому робота, виконана гравітацією вздовж ноги В\(W_{B}=0\), дорівнює нулю, що не дивно, оскільки нога B перпендикулярна напрямку сили тяжіння. Тому робота, виконана по шляху 2, дорівнює роботі по шляху 1,

\[W_{2}=W_{A}+W_{B}=m g y_{i}=W_{1} \nonumber \]

Тепер розглянемо рух предмета по поверхні з кінетичною силою тертя між об'єктом і поверхнею і позначимо коефіцієнт кінетичного тертя по\(\mu_{\mathrm{k}}\). Давайте порівняємо два шляхи від початкової точки\(x_{i}\) до кінцевої точки\(x_{f}\). Перший шлях - прямолінійний шлях. На цьому шляху виконана робота якраз

\[W^{f}=\int_{\text {path } 1} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\int_{\mathrm{path} 1} F_{x} d x=-\mu_{\mathrm{k}} N s_{1}=-\mu_{\mathrm{k}} N \Delta x<0 \nonumber \]

де довжина шляху дорівнює зміщенню,\(s_{1}=\Delta x\). Відзначимо, що той факт, що кінетична сила тертя спрямована протилежно зміщенню, що відбивається в знаку мінус в Рівнянні (14.2.8). Другий шлях проходить повз\(x_{f}\) деяку відстань і до них повертається\(x_{f}\) (рис. 14.3). Оскільки сила тертя завжди протистоїть руху, робота, виконана тертям, негативна,

\[W^{f}=\int_{\text {path } 2} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\int_{\text {path } 2} F_{x} d x=-\mu_{\mathrm{k}} N s_{2}<0 \nonumber \]

Робота залежить від загальної пройденої відстані\(s_{2}\), і більше, ніж зміщення\(s_{2}>\Delta x\). Величина виконаної роботи по другому шляху більше, ніж величина виконаної роботи по першому шляху.

Малюнок 14.3 Два різних шляху від\(x_{i}\) до\(x_{f}\)

Ці два приклади характерні для двох принципово різних типів сил та їх внесок у роботу. Робота, виконана гравітаційною силою біля поверхні землі, не залежить від шляху, пройденого між початковою і кінцевою точками. У разі тертя ковзання виконана робота залежить від пройденого шляху.

Всякий раз, коли робота, виконана силою при переміщенні об'єкта від початкової точки до кінцевої точки, не залежить від шляху, сила називається консервативною силою.

Робота, виконана консервативною силою\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}\) в обході замкнутого шляху, дорівнює нулю. Розглянемо два шляхи, показані на малюнку 14.4, які утворюють замкнутий шлях, що починається і закінчується в точці А з декартовими координатами (1, 0).

Малюнок 14.4 Два шляхи при наявності консервативної сили.

Робота, виконана вздовж контуру 1 (верхній контур на малюнку, синій, якщо дивитися кольором) від точки А до точки Б з координатами (0,1) задається

\[W_{1}=\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(1) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1} \nonumber \]

Робота, виконана по шляху 2 (нижній контур, зеленого кольору) від B до A задається

\[W_{2}=\int_{B}^{A} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(2) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \nonumber \]

Робота, виконана навколо замкнутого шляху - це всього лише сума роботи по доріжках 1 і 2,

\[W=W_{1}+W_{2}=\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(1) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}+\int_{B}^{A} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(2) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \nonumber \]

Якщо змінити кінцеві точки шляху 2, то інтеграл змінюється знак,

\[W_{2}=\int_{B}^{A} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(2) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}=-\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(2) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \nonumber \]

Потім ми можемо замінити рівняння (14.2.13) у Рівняння (14.2.12), щоб виявити, що робота, виконана навколо замкнутого шляху, є

\[W=\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(1) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(2) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \nonumber \]

Оскільки сила консервативна, робота, виконана між точками A - B, не залежить від шляху, тому

\[\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(1) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=\int_{A}^{B} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}}(2) \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \nonumber \]

Тепер ми використовуємо незалежність від шляху роботи для консервативної сили (Рівняння (14.2.15) у Рівнянні (14.2.14)), щоб зробити висновок, що робота, виконана консервативною силою навколо замкнутого шляху, дорівнює нулю,

\[W=\oint_{\text {closed }} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{c}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=0 \nonumber \]