4: Жорстке обертання тіла
- Page ID
- 76163
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Жодне справжнє тверде тіло не є абсолютно жорстким. Обертається нежорстке тіло буде спотворено відцентровою силою* або взаємодією з іншими тілами. Проте більшість людей дозволить, що на практиці деякі тверді тіла досить жорсткі, обертаються лише зі скромною швидкістю, а будь-які спотворення невеликі в порівнянні із загальними розмірами тіла. Ніяких виправдань, отже, не потрібні або пропонуються для аналізу, щоб почати з обертання жорсткого тіла.
- 4.1: Введення в обертання жорсткого тіла
- Повна обробка обертання асиметричної верхівки (три основні моменти інерції якої нерівні) дуже тривала, оскільки є дуже багато випадків, які слід розглянути. Обмежу розгляд руху асиметричної вершини якісним аргументом, який показує, що обертання навколо головної осі найбільшого моменту інерції або навколо осі найменшого моменту інерції є стабільним, тоді як обертання навколо проміжної осі нестабільне.
- 4.2: Кутова швидкість і кути Ейлера
- Ми вивчимо рух тіла, яке обертається навколо неголовної осі. Якщо тіло вільно обертається в просторі без зовнішніх крутних моментів, що діють на нього, його кутовий момент L буде постійним за величиною і напрямком.
- 4.3: Кінетична енергія обертання жорсткого тіла
- Ця формула є адекватною для простих ситуацій, коли тіло обертається навколо головної осі, але не є достатньою для тіла, що обертається навколо неголовної осі.
- 4.4: Рівняння руху Лагранжа
- Виводячи рівняння Ейлера, мені зручно використовувати рівняння руху Лагранжа. Це не викличе труднощів у всіх, хто вже знайомий з механікою Лагранжа. Геометричний опис механічної системи в певний момент часу можна задати, вказавши ряд координат, наприклад, якщо система складається лише з однієї частинки, ви можете вказати її прямокутні координати xyz або її циліндричні координати ρ z, або її сферичні координати rθ β.
- 4.5: Рівняння руху Ейлера
- Рівняння обертання Ейлера є векторним квазілінійним звичайним диференціальним рівнянням першого порядку, що описує обертання твердого тіла, що використовує обертову опорну рамку з її осями, закріпленими на тілі та паралельними головним осям інерції тіла.
- 4.6: Рух без сили жорсткого асиметричного верху
- Під «асиметричним верхом» я маю на увазі тіло, три основні моменти інерції якого нерівні. Хоча ми часто думаємо про «вершину» як симетричне тіло, що обертається на столі, в цьому розділі «вершина» не обов'язково буде симетричною, і вона не буде контактувати з будь-яким столом, а також не піддаватися будь-яким зовнішнім силам або крутним моментам.
- 4.7: Нежорсткий ротатор
- Кінетична енергія обертання тіла, що обертається навколо головної осі, становить 12Iω312Iω3, де I - момент інерції навколо цієї головної осі, а кутовий момент дорівнює L = IΩ. (Про обертання навколо неголовної осі див. Розділ 4.3.) Таким чином, обертальну кінетичну енергію можна записати як L2/ (2I).
- 4.9: Відцентрові та Коріолісові сили
- Нам зазвичай розповідають в елементарних книгах, що «немає такого поняття», як відцентрова сила. Коли супутник обертається навколо Землі, він не утримується в рівновазі між двома рівними і протилежними силами, а саме гравітацією, що діє на Землю, і відцентровою силою, що діє назовні. Насправді, нам кажуть, що супутник прискорюється (доцентрове прискорення); існує тільки одна сила, а саме гравітаційна сила, яка дорівнює масі разів доцентрового прискорення.
- 4.10: Верх
- Технічно ми класифікуємо тверді тіла як симетричні, асиметричні, сферичні та лінійні вершини відповідно до відносних розмірів їх основних моментів інерції.
Мініатюра: Правильне геометричне визначення кутів Ейлера. Система xyz (фіксована) показана синім кольором, система XYZ (повернута) показана червоним кольором. Лінія вузлів (N) показана зеленим кольором. (CC BY 3.0; ).