3.13: Віріальна теорема

По-перше, дозвольте мені сказати, що я не впевнений, як ця теорема отримала свою назву, крім того, що мій латинський словник говорить мені, що vis, viris означає силу, а його форма множини, vires, virium зазвичай перекладається як сила. Термін, мабуть, був введений Рудольфом Клаузіусом термодинамічної слави. Ми не використовуємо слово міцність в якомусь конкретному технічному сенсі в класичній механіці, хоча ми говоримо про міцність на розрив дроту, яка є силою, яку він може викликати до того, як він замикається. Ми використовуємо слово енергія, щоб означати здатність виконувати роботу; можливо, ми могли б використовувати слово сила, щоб означати здатність чинити силу. Але вистачить цих пустих домислів.

Перш ніж продовжити, визначаю кількість

$$\boldsymbol\iota = \sum_i m_{i}r_{i}^{2} \label{eq:3.13.1}$$

як другий момент маси системи частинок щодо походження. Як обговорювалося в главі 2, маса є (крім деяких тонкощів в загальній теорії відносності) синонімом інерції, а другий момент маси використовується настільки часто, що його майже завжди називають просто «моментом» інерції, ніби існував лише один момент, другий, який варто розглянути. Однак уважно зауважте, що ви, мабуть, набагато більше звикли думати про момент інерції щодо осі, а не щодо точки. Ця відмінність розглядається в розділі 2.19. Зауважте також, що, оскільки символ,$I$ як правило, сильно використовується в будь-якому обговоренні моментів інерції, для моменту інерції щодо точки я використовую символ$\boldsymbol\iota$

Я також можу написати рівняння$\ref{eq:3.13.1}$ як

$$\boldsymbol\iota = \sum_i m_{i}({\bf r}_{i} \times {\bf r}_{i}) \label{eq:3.13.2}$$

Диференціюйте двічі по відношенню до часу:

$$\dot{\boldsymbol\iota} = 2\sum_i m_{i}({\bf r}_{i}\dot{\bf r}_{i}), \label{eq:3.13.3}$$

і

$$\ddot{\boldsymbol\iota} = 2\sum_i m_{i}(\dot{\bf r}_{i}^{2}+ {\bf r}_{i}\ddot{\bf r}_{i}), \label{eq:3.13.4}$$

або

$$\ddot{\boldsymbol\iota} = 4T + 2 \sum_i{\bf r}_{i}m_{i}\ddot{\bf r}_{i}, \label{eq:3.13.5}$$

де$T$ - кінетична енергія системи частинок. Під сумами розуміються над усіма частинками - тобто$i$ від 1 до$n$.

$m_{i} \ddot{\bf r}_{i}$це сила на$i$ частинку. Зараз я припускаю, що немає зовнішніх сил на жодну з частинок в системі, але частинки взаємодіють один з одним консервативними силами,${\bf F}_{ij}$ будучи силою, що чиниться на частинку$i$ частинкою$j$. Я також збираюся ввести позначення,\( {\bf r} _{ij} = {\bf r} _{i} -{\bf r} _{i}\), яке є вектором, спрямованим від частинки$i$ до частинки $j$. Співвідношення між цими трьома векторами показано на малюнку III.8.

Я не намалював силу${\bf F}_{ij}$, але вона буде в протилежному напрямку,${\bf r}_{ji}$ якщо це сила відштовхування і в тому ж напрямку, як${\bf r}_{ji}$ ніби це приваблива сила.

Загальна сила на частку i є,$\sum_{j\neq i}{\bf F}_{ij}$ і це дорівнює$m_{i} \ddot{\bf r}_{i}$ Тому рівняння$\ref{eq:3.13.5}$ стає

$$\ddot {\boldsymbol\iota} = 4T + 2\sum_i {\bf r}_{i} \sum_{j\neq i}{\bf F}_{ij} \label{eq:3.13.6}$$

Тепер зрозуміло, що

$$\sum_{i}{\bf r}_{i} \sum_{j\neq i} {\bf F}_{ij} = \sum_i \sum_{j<i}{\bf r}_{ij}{\bf F}_{ij} \label{eq:3.13.7}$$

Однак у випадку, якщо, як і я, ви знайдете подвійні індекси та підсумовування заплутаними, і ви дійсно не уявляєте, що$\ref{eq:3.13.7}$ означає Equation, і це зовсім не зрозуміло, я виписую це повністю у випадку, коли є п'ять частинок. Таким чином:

$\sum_i {\bf r}_i \sum_{j\neq i } {\bf F}_{ij} = {\bf r}_{1}({\bf F}_{12}+ {\bf F}_{13}+{\bf F}_{14}+{\bf F}_{15})$

$+ {\bf r}_{2}({\bf F}_{21}+ {\bf F}_{23}+{\bf F}_{24}+{\bf F}_{25})$

$+ {\bf r}_{3}({\bf F}_{31}+ {\bf F}_{33}+{\bf F}_{34}+{\bf F}_{35})$

$+ {\bf r}_{4}({\bf F}_{41}+ {\bf F}_{43}+{\bf F}_{44}+{\bf F}_{45})$

$+ {\bf r}_{5}({\bf F}_{51}+ {\bf F}_{53}+{\bf F}_{54}+{\bf F}_{55})$

Тепер застосуємо третій закон руху Ньютона:

$\sum_i r_i \sum_{j\neq i } {\bf F}_{ij} = r_{1}(-{\bf F}_{21}- {\bf F}_{31}-{\bf F}_{41}+{\bf F}_{51})$

$+ {\bf r}_{2}({\bf F}_{21}- {\bf F}_{32}-{\bf F}_{42}-{\bf F}_{52})$

$+ {\bf r}_{3}({\bf F}_{31}- {\bf F}_{32}-{\bf F}_{43}-{\bf F}_{53})$

$+ {\bf r}_{4}({\bf F}_{41}- {\bf F}_{42}-{\bf F}_{43}-{\bf F}_{54})$

$+ {\bf r}_{5}({\bf F}_{51}- {\bf F}_{52}-{\bf F}_{53}+{\bf F}_{54})$

Тепер майте на увазі це${\bf r}_{2} - {\bf r}_{1} = {\bf r}_{21}$, і ми бачимо, що це стає

$\sum_{i} r_{i} \sum {j \neq i} {\bf F}_{ij} = {\bf F}_{21}*r_{21}+{\bf F}_{31}*r_{31} + {\bf F}_{41}*r_{41}+ {\bf F}_{51}*r_{51}$

${\bf F}_{32}*{\bf r}_{32} + {\bf F}_{42}*{\bf r}_{42} + {\bf F}_{52}*{\bf r}_{52}$

$+ {\bf F}_{43}*{\bf r}_{43} + {\bf F}_{53}*{\bf r}_{53}$

$+ {\bf F}_{54}*{\bf r}_{54}$

і ми прибули до Рівняння$\ref{eq:3.13.7}$. Рівняння$\ref{eq:3.13.6}$ тоді стає

$$\ddot{\boldsymbol\iota} = 4T + 2\sum_{i}\sum_{j<i}{\bf r}_{ij}{\bf F}_{ij} \label{eq:3.13.8}$$

Це найзагальніша форма віріального рівняння. Це говорить нам, чи збирається кластер розсіюватися ($\ddot{\boldsymbol\iota}$позитивно) чи руйнуватися ($\ddot{\boldsymbol\iota}$негативно) - хоча це, очевидно, буде залежати від природи закону сили${\bf F}_{ij}$.

Тепер припустимо, що частинки притягуються один до одного з силою, обернено пропорційною потужності їх відстані один від одного.$n$ Для гравітаційних частинок, звичайно,$n$ = 2. Сила між двома частинками може бути записана в різних формах, таких як

$${\bf F}_{ij} = -{\bf F}_{ij} \hat{\bf r}_{ij} = -\frac{k}{\bf r_{ij}^{n}}\hat{\bf r}_{ij} = - \frac{k}{r_{ij}^{n+1}}{\bf r}_{ij} \label{eq:3.13.9}$$

і взаємна потенційна енергія між двома частинками мінус інтеграл${\bf F}_{ij}dr$, або

$$U_{ij} = -\frac{k}{(n-1){\bf r}^{n-1}} \label{eq:3.13.10}$$

Тепер я припускаю, що сили між частинками - це гравітаційні сили, такі, що

$${\bf F}_{ij} = -\frac{Gm_{i}m_{j}}{\bf r^{3}_{ij}}{\bf r}_{ij} \label{eq:3.13.11}$$

Тепер поверніться до терміну,${\bf r}_{ij} {\bf F}_{ij}$ який зустрічається в Рівняння$\ref{eq:3.13.8}$:

$${\bf r}_{ij} {\bf F}_{ij} = -\frac{k}{\bf r_{ij}^{n+1}}{\bf r}_{ij}{\bf r}_{ij} = -\frac{k}{r_{ij}^{n-1}}= (n-1)U_{ij} \label{eq:3.13.12}$$

Таким чином, рівняння$\ref{eq:3.13.8}$ стає

$$\ddot{\boldsymbol\iota} = 4T + 2(n-1)U, \label{eq:3.13.13}$$

де$T$ і$U$ знаходяться кінетична і потенційна енергії системи. Зверніть увагу, що для гравітаційної взаємодії (або будь-яких привабливих) сил$U$ величина негативна. $\ref{eq:3.13.13}$Рівняння - віріальна теорема для системи частинок з силою$r^{-2}$ притягання між ними. Система буде розсіюватися або руйнуватися за знаком$\ddot{\boldsymbol\iota}$ Для системи гравітаційно-взаємодіючих частинок$n = 2$, і тому віріальна теорема набуває вигляду

$$\ddot{\boldsymbol\iota} = 4T + 2U \label{eq:3.13.14}$$

змінюється від моменту до моменту, але завжди таким чином, що рівняння$\ref{eq:3.13.13}$ задовольняється.

У стабільній, зв'язаній системі, під якою я маю на увазі, що протягом тривалого періоду часу не відбувається тривалої зміни моменту інерції системи, і система не є незворотним розсіюванням або скороченням, тобто в системі, в якій середнє значення$\ddot{\boldsymbol\iota}$ протягом тривалого періоду часу дорівнює нулю (скоро визначу «довгий»), віріальна теорема для стабільної зв'язаної системи частинок r ^{- n} набуває вигляду

$$2 \langle t \rangle + (n-1)<u> = 0, \label{eq:3.13.15}$$

і для стабільної системи гравітаційно-взаємодіючих частинок,

$$2 \langle t \rangle + <u> = 0, \label{eq:3.13.16}$$

Тут під кутовими дужками розуміються середні значення кінетичної та потенційної енергій протягом тривалого періоду часу. Під «довгим» періодом ми маємо на увазі, наприклад, довгий порівняно з часом, який частинка займає для перетину з одного боку системи на іншу, або довгий порівняно з часом, який частинка займає для переміщення по орбіті навколо центру маси системи. (При відсутності зовнішніх сил, звичайно, центр мас не рухається, або він рухається з постійною швидкістю.)

Наприклад, якщо зв'язане скупчення зірок займає сферичний об'єм рівномірної щільності, потенційна енергія дорівнює$\frac{3GM^{2}}{5a}$ (Рівняння 5.9.1 Небесної Механіки), тому віріальна теорема (Рівняння$\ref{eq:3.13.16}$) дозволить вам відпрацювати середню кінетичну енергію і, отже, швидкість зірок. Кульове скупчення має приблизно сферичну симетрію, але воно не має однорідної щільності, будучи центрально конденсованим. Якщо припустити якусь функціональну форму розподілу густини, це дасть дещо іншу формулу потенційної енергії, а потім ви все ще можете використовувати віріальну теорему для обчислення середньої кінетичної енергії.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розглянемо планету маси, що$m$ рухається по круговій орбіті радіуса$a$ навколо Сонця маси$M$, така, що$m$ <<$M$ і Сонце не рухається.

Потенційна енергія системи є$U=-GM\frac{m}{a}$.
Швидкість планети задається прирівнюванням$\frac{mv^{2}}{a}$ до$\frac{GMm}{a^{2}}$, з якого$T=GM\frac{m}{(2a)}$,

тому ми легко бачимо в цьому випадку, що$2T+U=0$.