4.11: Додаток

У розділі 4.4 ми поставили питання про те, чи є кут розмірною або безрозмірною величиною, а в розділі 4.8 ми поставили питання про те, чи є кут векторною величиною.

Можу представити два аргументи. Один з них безперечно доведе, що кут безрозмірний. Інший доведе, однаково незаперечно, і однаково переконливо, що кут має розміри. Кут, як відомо, визначається як відношення довжини дуги до радіуса. Це співвідношення двох довжин, і тому безперечно безрозмірний. З іншого боку, необхідно викласти одиниці, в яких виражений кут. Ви не можете просто говорити про кут 1. Ви повинні заявити, чи це 1 ступінь або 1 ступінь. Тому кут має розміри. Q.E.D. Отже - ви можете взяти свій вибір. У багатьох контекстах мені подобається думати про кут як розмірену величину, що має розміри$\Theta$. Тобто не поєднання маси, довжини і часу, а наявність власних розмірів в своєму власному праві. Я вважаю, що можу успішно продовжувати аналіз розмірів, як це.

Тепер питання: Чи є кут вектором?

Кут, безумовно, має як величину, так і напрямок, пов'язане з ним. Таким чином, напрямок, пов'язане з кутом.

знаходиться під прямим кутом до площини екрану, або паперу.
Однак цього, очевидно, недостатньо для того, щоб він був вектором у тому сенсі, що ми це знаємо.

Наприклад, якщо ви повернете через кут a, а потім через кут b, ви не можете сказати, що чистий результат з них - повернути через кут$c$, де$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$.

Таким чином, хоча кут має як величину, так і напрямок, і його можна розглядати як вектор, кути не підкоряються звичайному закону трикутника векторного додавання. З цієї причини кути іноді називають «псевдовекторами».

Насправді, як скаже вам будь-який студент астрономії, правильне співвідношення між кутами є

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$.

Якщо кути$a, b, c$ (не$C$) дуже малі, то трикутник стає майже площинним. Кути додають все більше і більше, як звичайне правило площини трикутника для векторного додавання. Це, мабуть, очевидно, коли ви думаєте про геометрію, але ви також можете переконати себе в цьому, розширюючи синуси та косинуси (крім$\cos C$) як ряди, і, до другого порядку малих величин$(\cos \theta\approx 1-\frac{1}{2}\theta^{2},\sin\theta\approx 1)$, ви виявите, що рівняння$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$ зводиться до$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$. З цієї причини іноді говорять, що «нескінченно мале обертання» може

розглядатися як істинний вектор. Також з цієї причини тимчасову швидкість зміни кута, тобто кутову швидкість$\frac{d\theta}{dt}$, цілком сміливо можна розглядати як істинний вектор, так як чисельник і знаменник похідних є обома нескінченними числами.

Таким чином, хоча кут має напрямок, пов'язаний з ним, кут не є справжнім вектором, оскільки кути не відповідають звичайним правилам додавання векторів. Однак дуже малі кути приблизно дотримуються правил додавання, так що в нескінченно малій межі кути можна розглядати як вектори. І, отже, кутова швидкість, будучи відношенням нескінченних чисел ($d\theta$і$dt$), може правильно розглядатися як вектори.