Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.10: Верх

Технічно ми класифікуємо тверді тіла як симетричні, асиметричні, сферичні та лінійні вершини відповідно до відносних розмірів їх основних моментів інерції. У цьому розділі, або принаймні в назві цього розділу, я маю на увазі «верх» в нетехнічному сенсі дитячої іграшки — тобто симетричне тіло, загострене на одному кінці, що обертається навколо своєї осі симетрії, із загостреним кінцем на землі або на столі. Технічно це «важка симетрична вершина з фіксованою однією точкою».

альт

Я намалював це малюнок IV.26, обертаючись навколо своєї осі симетрії, яка робить кутθ з вертикаллю. Відстань між центром маси і точкою зіткнення з таблицею становить l, вона має пару сил, що діють на нього — свою вагу і рівну, протилежну реакцію столу. На малюнку IV.27 я замінюю ці дві сили крутним моментомτ, який має величинуMglsinθ.

Відзначимо, що, оскільки на систему діє зовнішній крутний момент, то вектор моменту моменту не фіксується.


альт

Перш ніж брати участь у численних рівняннях, давайте витратимо трохи, якісно описуючи рух вершини, а також описуючи різні системи координат та кути, які ми будемо обговорювати. По-перше, ми будемо використовувати набір фіксованих пробілом координат. МиO дозволимо початку координат бути в (фіксованому) точці, де кінчик верхньої торкається таблиці. ВісьOz вказує вертикально вгору до зеніту. OyОсіOx і знаходяться в (горизонтальній) площині столу. Їх точна орієнтація не дуже важлива, але припустимо, щоOx точки через південь, аOy точки через схід. Oxyzто являє собою набір для правші. Ми також будемо використовувати набір тіло-фіксованих осей, які я просто посилаюся на даний момент як 1, 2 і 3. 3-вісь - це вісь симетрії вершини. 1- і 2-осі перпендикулярні цьому. Їх точні положення не дуже важливі, але припустимо, що 31-площина проходить через невелику чорнильну крапку, яку ви позначили збоку зверху, і що система 123 являє собою набір для правші.

Ми збираємося описати орієнтацію вершини в якийсь момент за допомогою трьох кутів Ейлераθ,ϕ іψ (див. Рис. IV.28). Вісь симетрії вершини представлена важкою стрілкою, і вона перекидається під кутомθ доz -осі. Я буду називати площину, нормальну до осі симетрії як «екватор» вершини, і вона нахиленаθ наxy -площині. Висхідний вузол екватора наxy -площині має азимутϕ, іψ являє собою кутову відстань 1-осі від вузла. Азимут осі симетрії вершини дорівнюєϕ - 90 ° =ϕ + 270°.


альт

Тепер дозвольте трохи передбачити і описати рух верху, поки вона крутиться і піддається описаному вище моменту.

Вісь симетрії вершини збирається прецеса навколоz -осі, зі швидкістю, яка буде описана як˙ϕ. За винятком деяких умов (які я врешті-решт опишу) цей прецесійний рух є світським. Це означає, що весь часϕ збільшується — він не коливається туди-сюди. Однак вісь симетрії не залишається під постійним кутом зz -віссю. Він коливається, або киває вгору і вниз між двома межами. Цей рух називається нутацією (лат.: nutare, кивати). Однією з наших цілей буде спробувати знайти швидкість нутації˙ϕ і знайти період і амплітуду нутації.

Це може виглядати так, ніби вершина обертається навколо своєї осі симетрії, але це не зовсім так. Якби вектор кутової швидкості був точно вздовж осі симетрії, він залишався б там, і не було б прецесії або нутації, і це не може бути, поки є крутний момент, що діє на вершині. Винятком було б, якби вершина крутилася вертикально (θ= 0), коли на неї не діяло б крутного моменту. Верх може насправді це зробити, хіба що, якщо верхівка не крутиться досить швидко, така ситуація нестійка, і верх буде відхилятися від свого вертикального положення при найменшому обуренні. Однак при високих швидкостях обертання такий рух є стабільним, і дійсно однією з наших цілей має бути визначення найменшої кутової швидкості навколо осі симетрії такий рух є стабільним.

Однак, як уже згадувалося, якщо вершина не обертається вертикально, векторω не спрямований вздовж осі симетрії. Ми будемо називати три компонентиω уздовж трьох тіло-фіксованих осейω1,ω2 іω3, останній з них є складовоюω уздовж осі симетрії. Одна з речей, яку ми виявимо, коли продовжимо аналіз, - це те, щоω3 залишається постійним протягом усього руху. Також ви повинні вміти розрізнятиω3 і˙ψ. Вони не однакові, через руху вузла. Насправді ви, напевно, це зрозумієтеψ=ω3˙ϕcosθ. Дійсно, ми вже вивели співвідношення між складовою вектора кутової швидкості і швидкістю зміни кутів Ейлера — див. Рівняння 4.2.1, 2 і 3. Ми будемо використовувати ці відносини в наступному.

Щоб проаналізувати рух вершини, я збираюся використовувати Рівняння руху Лагранжа для консервативної системи. Якщо ви знайомі з рівняннями Лагранжа, це буде просто. Якщо ви цього не зробите, ви можете пропустити цей розділ, поки не ознайомитеся з механікою Лагранжа в главі 13. Однак я коротко ввів рівняння Лагранжа в розділі 4.4, в якому Рівняння руху Лагранжа було дано як

 ddt(T˙qj)(T˙qj)=Pj.

TОсь кінетична енергія системи. Pj- узагальнена сила, пов'язана з узагальненою координатоюqj. Якщо сила є консервативною силою, тоPj може виражатися як негатив похідної потенційної енергетичної функції:

 Pj=(Vqj)

Таким чином, ми маємо рівняння руху Лагранжа для системи консервативних сил.

 ddt(V˙qj)Vqj=Vqj

Таким чином, при розв'язанні задачі в динаміці Лагранжа першим рядком нашого обчислення є запис виразу для кінетичної енергії. Починається перший рядок: «T=...».

У цій задачі кінетична енергія

 T=12I1(ω21+ω22)+12I3ω23

Тут індекси відносяться до головних осей, 3 є віссю симетрії. Кути Ейлераθ іϕ являють собою зенітну відстань і азимут відповідно осі симетрії по відношенню до лабораторних нерухомих (космічних нерухомих) осей. Кут Ейлераψ вимірюється навколо осі симетрії. Складові кутової швидкості пов'язані зі швидкістю зміни кутів Ейлера за раніше виведеними формулами (Рівняння 4.2.1,2,3), тому˙θ,˙ϕ і˙ψ.

 T=12I1(˙θ2+˙ϕ2sin2θ)+12I3(˙ψ+˙ϕcosθ)2

Потенційна енергія

 V=Mglcosθ+constant.

Записавши вирази для кінетичної та потенційної енергій з точки зору кутів Ейлера, ми тепер в змозі застосувати рівняння руху Лагранжа 4.10.3 для кожної з трьох координат. Почнемо з координатиϕ. Рівняння Лагранжа

 ddt(T˙ϕ)Tϕ=Vϕ

Ми бачимо, щоTϕ іVϕ кожен нуль, так щоddtTϕ=0, абоTϕ = постійна. Це має розміри моменту моменту, тому я буду називати постійну L 1. При оцінціTϕ похідної отримано для рівняння Лагранжа уϕ:

 I1˙ϕsin2θ+I3˙ϕcos2θ+I3˙ψcosθ=L1

Залишу читача провести точно таку ж процедуру з координатоюψ. Ви швидко зробите висновок, щоTψ = постійна, яка має розміри кутового моменту, так називайте йогоL3, і тоді ви прийдете до наступного для рівняння Лагранжа вψ:

 I3(ψ+˙ϕcosθ)=L3

Але вираз в дужках дорівнюєω3 (див. Рівняння 4.2.3, хоча ми вже використовували його в Рівнянні4.10.5), тому отримуємо результатω3, що, складова кутової швидкості навколо осі симетрії, постійна під час руху вершини. Ймовірно, варто було б час читача в цей момент, щоб знову ретельно розрізнити в його свідомості різницю міжω3 і˙ψ.

Виключити˙ψ з рівнянь4.10.8 і4.10.9:

 ˙ϕ=L1L3cosθI1sin2θ

Це рівняння говорить нам, як швидкість прецесії змінюється зθ тим, як верхня киває або нутує вгору і вниз.

Ми також могли б виключити˙ϕ з рівнянь4.10.8 і4.10.9:

 ˙ψ=L3I3(L1L3cosθ)cosθI1sin2θ

Рівнянняθ Лагранжа в трохи складніше, але ми можемо отримати третє Рівняння руху з сталості загальної енергії:

 12I1(˙θ2+˙ϕ2sin2θ)+12I3(˙ψ+˙ϕcosθ)2+Mglcosθ=E.

Ми можемо усунути˙ϕ і˙ψ з цього, використовуючи Рівняння4.10.10 і4.10.11, щоб отримати рівняння вθ і тільки час. Трохи провівши алгебру, отримуємо

 ˙θ2=ABcosθ(L1L3cosθI1sinθ)2,

де

 A=1I1(2EL23I3)

і

 B=2MglI1

Поворотні точки вθ -motion (тобто нутація) відбуваються там, де˙θ=0. Це результат (після деякої алгебри! — але досить просто (все одно) в кубічному рівнянні вc=cosθ:

 a0=a1c+a2c2+Bc3=0

де

 a0=A(L1I1)2=2EI1L23I1I3L21I21,

 a1=2L1L3I21B=2L1L3I212MglI1

і

 a2=A(L3I1)2=[2EI1L23I1I3(L3I1)2]

Тепер рівняння4.10.16 є кубічним рівнянням вcosθ і воно має або один реальний корінь, або три реальних кореня, і в останньому випадку два з них або всі три можуть бути рівними. Ми також повинні мати на увазі, щоθ є реальним, лише якщоcosθ він знаходиться в діапазоні від −1 до+1. Ми намагаємося знайти межі нутації, тому сподіваємося, що знайдемо два і тільки два реальних значенняθ. (Якщо верхівка вершини була розташована на вершині точки - наприклад, якби вона була розташована на вершині Ейфелевої вежі, а не на горизонтальному столі - ви могли бθ мати> 90 °.)

Щоб спробувати зрозуміти це краще, я сконструював у своїй свідомості топ, дещо схожий за формою на той, що зображений на малюнках IV.25 і 26, діаметром близько 4 см, висотою 7 см, з латуні. Для конкретної форми та розмірів, які я собі уявляв, це спрацювало, щоб мати наступні параметри, округлені до двох значущих фігур:

М = 0,53 кг л = 0,044 м I 1 = 1,7×10 −4 кг м 2 I 3 = 9,8×10 −5 кг м 2

Я думав, що я б спина зверху так, щоω3 (який, як ми бачили, залишається постійним протягом усього руху) 250 рад с -1, і я б почати верхню (˙ϕ=˙θ=0) приθ = 30 °. А потім відпустити. Імовірно, він негайно почне падати, і 30 ° тоді буде верхньою межею нутації. Ми хочемо побачити, як далеко він впаде, перш ніж знову кивати вгору. Зω3 = 250 рад s −1 ми знаходимо, з Рівняння,4.10.9 що

L3= 2,45 х 10 -2 Дж

Крім того, я припускаю, що˙ϕ = 0 колиθ = 30 °, і Рівняння4.10.10 говорить нам, що

Л 1 = 2,121762 х 10 -2 Жс

Тоді з g = 9.8 m s −2, ми маємо, з Рівняння4.10.15,

Б = 2,688659 х 10 3 с -2.

Мої початкові умови, що˙ϕ і˙θ кожен нуль, колиθ = 30 °, і Рівняння4.10.10 і4.10.13 між ними говорять нам, щоA=Bcos 30 °, так що

А = 2,328447 х 10 3 с -2.

З рівнянь 4.12.17, 18 і 19 ми тепер маємо

а 0 = -1,324989 х 10 3 с -2

а1= +3,328586 х 10 3 с -2

а2= -2,309834 х 10 3 с -2

і у нас вже є

Б = 2,688659 х 10 3 с -2.

«Правило знаків» для рівнянь поліномів, якщо ви знайомі з ним, говорить нам, що немає негативних дійсних коренів (тобто немає розв'язківθ з> 90 °), і справді, якщо ми вирішимо кубічне рівняння,4.10.16 ми отримаємо

с = 0.824596, 0.866025, 6.9000406

Другий з них відповідаєθ = 30 °, який ми вже знали, повинен бути рішенням. Дійсно, ми могли б розділити Рівняння4.10.16 наccos 30 °, щоб отримати квадратне рівняння для решти двох коренів, але, мабуть, найкраще вирішити кубічне рівняння таким, яким воно є, щоб переконатися, щоcos 30 ° дійсно є рішенням, тим самим забезпечуючи перевірку на арифметичні. Третє рішення не дає нам реальногоθ (ми швидше сподівалися, що це станеться). Друге рішення - нижня межа нутації, відповіднаθ = 34 ° 27'.

Як правило, однак, верхня частина буде нутувати між двома значеннямиθ. Назвемо ці два значенняα іβ,α будучи меншим (більш вертикальним) з двох. Я будуθ=α називати «верхню межу» руху, хочаα<β, оскільки це відповідає більш вертикальному положенню верхньої частини. Ми трохи подивилися на рух вθ; тепер давайте подивимося на рух вϕ, починаючи з Рівняння4.10.10:

 ˙ϕ=L1L3cosθI1sin2θ

Якщо початкові умови такі, щоL1>L3cosα (і тому завжди більшеL3cosθ)ˆϕ завжди позитивний. Рух тоді щось на зразок я намагаюся проілюструвати на малюнку IV.29

альт

Цей рух відповідає початковій умові, в якій ви даєте верхній початковий поштовх у напрямку вперед, як зазначено маленькою синьою стрілкою. Якщо початкові умови такіcosα>L1L3>cosβ, що, ознака˙ϕ відрізняється у верхній і нижній межах. Так проілюстровано на малюнку IV.30

альт

Цей рух виникне, якби ви спочатку дали невеликий поштовх назад, перш ніж відпустити вершину, як вказує маленька синя стрілка.

Якщо початкові умови такіL1=L3cosα, що, то˙θ і˙ϕ кожен нуль у верхній межі нутації, і така була ситуація в нашому числовому прикладі. Це відповідає просто відпускати верхню краплю, коли ви відпускаєте її, не даючи йому ні вперед, ні назад. Це проілюстровано на малюнку IV.31.

альт

Як ми виявили, роблячи наш числовий приклад, початкові умови,˙θ=˙ϕ=0 колиθ=α призводять, у цьому третьому типі руху, до

 L1=L3cosα

і

 A=Bcosα

У випадку Рівняння4.10.13 стає

 ˙θ2=B(cosαcosθ)[L3(cosαcosθ)I1sinθ]2

Нижня межа нутації (тобто як далеко падає вершина) знаходить, поставившиθ=β при˙θ = 0. Це дає наступне квадратне рівняння дляβ:

cos2βL23I21Bcosβ+L23cosαI1sinθ

У нашому числовому прикладі це

cos2β7.725002cosβ+5.690048=0,

який, природно, має ті ж два рішення, які ми отримали при вирішенні кубічного рівняння, а саме 0.824 596 і 6.900 406.

Згадуючи визначення B (Equation4.10.15), ми бачимо, що Рівняння4.10.23 можна записати

 cosαcosβ=2MglI1L23sin2β,

з якого ми бачимо, що чим більшеL3, тим менше різниця міжα іβ - тобто тим менше амплітуда нутації.

Рівняння4.10.12, за допомогою Рівняння4.10.10 і4.10.11, можна записати:

 EL232I312I1˙θ2=12I1(L1cscθL3cotθ)2+Mglcosθ.

Ліва сторона - сумарна енергія мінус спінові і нутаційні кінетичні енергії. Таким чином, права сторона являє собою ефективну потенційну енергію, якуVe(θ) називають еталонною рамкою, яка обертається разом з прецесією. Термін неMglsinθ потребує пояснень. Негативним від похідної першого члена з правого боку буде «фіктивна» сила, яка «існує» у співобертаючій системі відліку. ЕфективнаVe(θ) потенційна енергія дається

 Ve(θ)L21/(2I1)=[cscθ(L3/L1)cotθ]2+2I1MglcosθL21.

Я малюю наVe(θ) рисунках IV.32 і 33, використовуючи значення, які ми використовували в нашому числовому прикладі - тобто:

 Ve(θ)=1.32081(cscθ1.154701cotθ)2+0.229536cosθjoules.

Малюнок 32 нанесений до 90 ° (хоча, як говорилося раніше, можна було б піти далі цього, якби верхівка не крутилася на горизонтальному столі), а на малюнку 33 близький погляд 2 до мінімального. Можна побачити, що якщоEL33/(2I2)=0.1979 ефективна потенційна енергія (яка не може йти вище цієї, і досягає цього значення лише тоді, коли)˙θ = 0, межі нутації знаходяться в межах від 30 ° до 34° 24 '. Для даногоL3, для більшої загальної енергії межі нутації відповідно ширші. Але для даної сумарної енергії, чим більшеL3 складова моменту моменту моменту, тим нижче буде горизонтальна лінія і тим вужче межі нутації. Якщо верх втрачає енергію (наприклад, через опір повітря або тертя в місці контакту з таблицею), постійна лінія E = стане нижчою 2 і нижче, а амплітуда нутації буде ставати все менше і менше. ЯкщоEL23/(2I3) дорівнює мінімальному значеннюVe(θ) є тільки одне рішення дляθ, а нутації немає. Для енергії менше цього, немає стаціонарного значенняθ і верх опускається.

альт

альт

Ми можемо знайти швидкість справжньої регулярної прецесії досить просто так - і це часто робиться у вступних книгах.

альт

На малюнку IV.34 векторL представляє кутовий момент в якийсь час, а через часовий проміжокδt пізніше зміна кутового моменту єδL. Кутовий імпульс змінюється через зовнішнього крутного моменту, який є горизонтальним вектором величиниMglsinθ (нагадайте про себе з рис. XV .26 і 27). Швидкість зміни моменту моменту задається поL=τ. З часомδt кінчик вектораL переміщається через «відстань»τδt. ПозначимоΩ прецесійної кутовою швидкістю (величину якої ми досі називали˙ϕ). Кінчик вектора кутового моменту рухається в малому колі радіусаLsinθ. Тому ми це бачимоτ=ΩLsinθ. Далі,τ перпендикулярно обохΩ іL. Тому в векторних позначеннях

τ=Ω×L

Зверніть увагу, що величинаτ єMglsinθ і величинаΩ×L єΩLsinθ, так що швидкість прецесії

 Ω=MglL

і є незалежним відθ.
Можна продовжувати аналізувати рух вершини майже нескінченно довго, але є два особливих випадки, які, мабуть, варто відзначити і які я опишу.

Особливий випадок IL1=L3.
У цьому випадку рівняння4.10.27 стає

 Ve(θ)Mgl=C(cscθcotθ)2+cosθ

де

 C=L212MglI1

Це може бути досить малоймовірним, щоL1=L3 саме, але цей випадок представляє інтерес частково тому, що він є винятковим в тому, щоVe(0) не йде до нескінченності; насправдіVe(0)=Mgl незалежно від значенняC. Спробуйте замінитиθ = 0 в Рівняння4.10.31 і подивіться, що ви отримаєте! Права сторона дійсно 1, але вам, можливо, доведеться трохи попрацювати, щоб дістатися туди. Інша причина, чому цей випадок представляє інтерес, полягає в тому, що він робить корисний вступ до справи II, що не є неможливим, а самеL1 це приблизно дорівнюєL3, що призводить до руху певного інтересу.

На малюнку IV.35 яVe(0)Mgl малюю кілька різнихC.

альт

З графіків виглядає так, нібиC2, є одне положення рівноваги, воно знаходиться приθ = 0 ° (тобто вершина вертикальна), а рівновага стабільна, якщоC<2, є два положення рівноваги: вертикальне положення нестабільне, а інше положення рівноваги - стабільний. Таким чином, якщо верх обертається швидко (великийC), він може обертатися тільки у вертикальному положенні («сплячий верх»), але, оскільки верх сповільнюється внаслідок тертя і опору повітря, вертикальне положення стане нестійким, а верх буде падати до позитивного значенняθ.

Ці відрахування правильні, дляdVedθ=0 результатів

 2C(1cosθ)2=sin4θ

Одне рішення єθ=0, а друга диференціація покаже, що це стабільно абоC нестабільно відповідно до того, чи більше або менше 2, хоча друга диференціація трохи втомлює, і її можна уникнути. Ми також можемо відзначити, що1cosθ це загальний коефіцієнт двох сторін рівняння4.10.33, і його можна розділити, щоб отримати кубічне рівняння вcosθ:

 2C1(2C+1)cosθcos2θcos3θ=0,

який можна було б вирішити, щоб знайти другу точку рівноваги - але це знову трохи втомлює. Менш виснажливим способом може бути взяти квадратний корінь кожної сторони рівняння4.10.33:

 2C(1cosθ)=1cos2θ

а потім розділити на загальний коефіцієнт (1 −\ cos θ) для отримання

cosθ=2C1,

який дає реальнийθ тільки якщоC2. Зверніть увагу також, якщоC=12,θ = 90 °.

Особливий випадок II. L3L1.

Іншими словами,L1 іL3 не сильно відрізняються. На малюнку IX.36Ve(0)Mgl малюю кілька різнихC, дляL3=1.01L1.

альт

Ми бачимо, що для досить великого діапазонуC більше 2 стабільне положення рівноваги близьке до вертикального. Незважаючи на те, що крива дляC=2 має дуже широкий мінімум, фактичний мінімум трохи менше 17 °. (Я не опрацьовував точну позицію — я залишу це читачеві.)