3.1: Векторний аналіз

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75815

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ до векторів

Певні фізичні величини, такі як маса або абсолютна температура в певний момент простору, мають лише величину. Одне число може представляти кожну з цих величин, з відповідними одиницями, які називаються скалярними величинами. Існують, однак, інші фізичні величини, які мають як величину, так і напрямок. Сила - приклад величини, яка має як напрямок, так і величину (силу). Три числа потрібні для представлення величини та напрямку векторної величини в тривимірному просторі. Ці величини називаються векторними величинами. Векторні величини також задовольняють двом різним операціям, векторному додаванню та множенню вектора на скаляр. Ми можемо скласти дві сили разом, і сума сил повинна задовольняти правилу для векторного додавання. Ми можемо помножити силу на скаляр таким чином збільшуючи або зменшуючи її силу. Положення, переміщення, швидкість, прискорення, сила та імпульс - це всі фізичні величини, які математично можуть бути представлені векторами. Безліч векторів і дві операції утворюють те, що називається векторним простором. Існує багато типів векторних просторів, але ми обмежимо нашу увагу дуже звичним типом векторного простору в трьох вимірах, з яким більшість студентів стикалися на своїх математичних курсах. Розпочнемо нашу дискусію з визначення того, що ми маємо на увазі під вектором у тривимірному просторі, і правил операцій додавання вектора і множення вектора на скаляр.

Властивості векторів

Вектор - це величина, яка має як напрямок, так і величину. Нехай вектор позначається символом\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Величина\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) є\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}| \equiv A\). Ми можемо представляти вектори як геометричні об'єкти за допомогою стрілок. Довжина стрілки відповідає величині вектора. Стрілка вказує в напрямку вектора (рис. 3.1).

3.1.свг — Малюнок 3.1: Вектори у вигляді стрілок. (CC BY-NC; Відповідає)

Існує дві визначальні операції для векторів:

(1) Векторне додавання

Вектори можуть бути додані. \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\)Дозволяти\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і бути двома векторами. Визначимо новий вектор\( \overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\), «векторне додавання»\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\), геометричною конструкцією. Намалюйте стрілку, яка представляє\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Помістіть хвіст стрілки, яка представляє\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) на кінчику стрілки,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) як показано на малюнку 3.2a. Стрілка, яка починається з хвоста\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і йде до кінчика\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) визначається як «векторне додавання»\( \overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\). Існує еквівалентна конструкція для закону векторного додавання. Вектори\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) можуть бути намальовані з їх хвостами в одній точці. Два вектори утворюють сторони паралелограма. Діагональ паралелограма відповідає вектору\( \overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\), як показано на малюнку 3.2б.

3.2a.svg — Малюнок 3.2a (CC BY-NC; Уміт Кая)

3.2b.svg — Малюнок 3.2b (CC BY-NC; Уміти Кая)

Векторне додавання задовольняє наступним чотирьом властивостям:

(i) Комутативність

Порядок додавання векторів не має значення;\[\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}} = \overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \] Наше геометричне визначення для додавання векторів задовольняє комутативну властивість (3.1.1). Ми можемо зрозуміти це геометрично, тому що в поданні від голови до хвоста для додавання векторів не має значення, з якого вектора ви починаєте, сума є тим самим вектором, як показано на малюнку 3.3.

3.3.свг — Малюнок 3.3: Комутативна властивість векторного додавання. (CC BY-NC; Відповідає)

(ii) Асоціативність

При додаванні трьох векторів не має значення, з яких двох ви починаєте\[(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}) + \overrightarrow{\mathbf{C}} = \overrightarrow{\mathbf{A}}+(\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}}) \nonumber \] На малюнку 3.4a, ми додаємо та використовуємо комутативність\((\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}})+\overrightarrow{\mathbf{A}}\),\(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}) + \overrightarrow{\mathbf{C}}\) щоб отримати той самий вектор, що і на малюнку 3.4a.

3.4a.svg — Малюнок 3.4a Асоціативне право. (CC BY-NC; Відповідає)

(iii) Елемент ідентичності для векторного додавання

Існує унікальний вектор\(\overrightarrow{\mathbf{0}}\), який виступає елементом ідентичності для векторного додавання. Для всіх\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) векторів\[\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{0}} = \overrightarrow{\mathbf{0}}+\overrightarrow{\mathbf{A}} = \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \]

(iv) Зворотний елемент для векторного додавання

Для кожного вектора\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) існує унікальний обернений вектор,\(-\overrightarrow{\mathbf{A}}\) такий, що\[\overrightarrow{\mathbf{A}} + (-\overrightarrow{\mathbf{A}}) = \overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \] вектор\(-\overrightarrow{\mathbf{A}}\) має таку ж величину, що і\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\),\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=|-\overrightarrow{\mathbf{A}}|=A\) але вони вказують в протилежні сторони (рис. 3.5).

3.5.свг — Малюнок 3.5 Адитивна зворотна. (CC BY-NC; Відповідає)

(2) Скалярне множення векторів

Вектори можна помножити на дійсні числа. \(\overrightarrow{\mathbf{A}}\)Дозволяти бути вектором. \(\text{c}\)Дозволяти бути дійсним додатним числом. Тоді множення\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) на\(\text{c}\) - це новий вектор, який ми позначимо символом\(c \overrightarrow{\mathbf{A}}\). Величина в\(\text{c}\) рази більше величини\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) (рис. 3.6а)\(c > 0\),\[|c \overrightarrow{\mathbf{A}}|=c|\overrightarrow{\mathbf{A}}| \nonumber \] Нехай, то напрямок\(c \overrightarrow{\mathbf{A}}\) є таким же, як напрямок\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\).\(c \overrightarrow{\mathbf{A}}\) Однак напрямок протилежне\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) (рис. 3.6).\(-c \overrightarrow{\mathbf{A}}\)

3.6.svg — Малюнок 3.6 Множення вектора\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) на\(c > 0\), і\(−c < 0\). (CC BY-NC; Відповідає)

Скалярне множення векторів задовольняє наступним властивостям:

(i) Асоціативний закон для скалярного множення

Порядок множення чисел не має значення. \(c\)Дозволяти\(b\) і бути дійсними числами. Тоді

\[b(c \overrightarrow{\mathbf{A}})=(b c) \overrightarrow{\mathbf{A}}=(c b \overrightarrow{\mathbf{A}})=c(b \overrightarrow{\mathbf{A}}) \nonumber \]

(ii) Розподільний закон для векторного додавання

Вектори задовольняють розподільному закону для векторного додавання. \(c\)Дозволяти бути дійсним числом. Тоді

\[c(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}})=c \overrightarrow{\mathbf{A}}+c \overrightarrow{\mathbf{B}} \nonumber \]

Малюнок 3.7 ілюструє цю властивість.

3.7. Свг — Малюнок 3.7 Розподільний закон для векторного додавання. (CC BY-NC; Відповідає)

(iii) Розподільний закон для скалярного додавання

Вектори також задовольняють дистрибутивному закону для скалярного додавання. \(c\)Дозволяти\(b\) і бути дійсними числами.Тоді\[(b+c) \overrightarrow{\mathbf{A}}=b \overrightarrow{\mathbf{A}}+c \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \] наше геометричне визначення додавання векторів і скалярного множення задовольняє цій умові, як показано на малюнку 3.8.

3.8.svg — Малюнок 3.8 Розподільний закон для скалярного множення. (CC BY-NC; Відповідає)

(iv) Елемент ідентичності для скалярного множення

Число 1 виступає елементом ідентичності для множення,

\[1\overrightarrow{\mathbf{A}} = \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \]

Визначення: Вектор одиниці

Ділення вектора на його величину призводить до отримання вектора одиничної довжини, який ми позначаємо символом каретки.

\[\hat{\mathbf{A}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{A}}}{|\overrightarrow{\mathbf{A}}|} \nonumber \]

Зауважте, що\(|\hat{\mathbf{A}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}| /|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=1\)