3.1: Векторний аналіз

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Вступ до векторів

Певні фізичні величини, такі як маса або абсолютна температура в певний момент простору, мають лише величину. Одне число може представляти кожну з цих величин, з відповідними одиницями, які називаються скалярними величинами. Існують, однак, інші фізичні величини, які мають як величину, так і напрямок. Сила - приклад величини, яка має як напрямок, так і величину (силу). Три числа потрібні для представлення величини та напрямку векторної величини в тривимірному просторі. Ці величини називаються векторними величинами. Векторні величини також задовольняють двом різним операціям, векторному додаванню та множенню вектора на скаляр. Ми можемо скласти дві сили разом, і сума сил повинна задовольняти правилу для векторного додавання. Ми можемо помножити силу на скаляр таким чином збільшуючи або зменшуючи її силу. Положення, переміщення, швидкість, прискорення, сила та імпульс - це всі фізичні величини, які математично можуть бути представлені векторами. Безліч векторів і дві операції утворюють те, що називається векторним простором. Існує багато типів векторних просторів, але ми обмежимо нашу увагу дуже звичним типом векторного простору в трьох вимірах, з яким більшість студентів стикалися на своїх математичних курсах. Розпочнемо нашу дискусію з визначення того, що ми маємо на увазі під вектором у тривимірному просторі, і правил операцій додавання вектора і множення вектора на скаляр.

Властивості векторів

Вектор - це величина, яка має як напрямок, так і величину. Нехай вектор позначається символом $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ . Величина $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ є $|\overrightarrow{\mathbf{A}}| \equiv A$ . Ми можемо представляти вектори як геометричні об'єкти за допомогою стрілок. Довжина стрілки відповідає величині вектора. Стрілка вказує в напрямку вектора (рис. 3.1).

3.1.свг — Малюнок 3.1: Вектори у вигляді стрілок. (CC BY-NC; Відповідає)

Існує дві визначальні операції для векторів:

(1) Векторне додавання

Вектори можуть бути додані. $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ Дозволяти $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і бути двома векторами. Визначимо новий вектор $\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}$ , «векторне додавання» $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ , геометричною конструкцією. Намалюйте стрілку, яка представляє $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ . Помістіть хвіст стрілки, яка представляє $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ на кінчику стрілки, $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ як показано на малюнку 3.2a. Стрілка, яка починається з хвоста $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і йде до кінчика $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ визначається як «векторне додавання» $\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}$ . Існує еквівалентна конструкція для закону векторного додавання. Вектори $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ можуть бути намальовані з їх хвостами в одній точці. Два вектори утворюють сторони паралелограма. Діагональ паралелограма відповідає вектору $\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}$ , як показано на малюнку 3.2б.

3.2a.svg — Малюнок 3.2a (CC BY-NC; Уміт Кая)

3.2b.svg — Малюнок 3.2b (CC BY-NC; Уміти Кая)

Векторне додавання задовольняє наступним чотирьом властивостям:

(i) Комутативність

Порядок додавання векторів не має значення; $\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}} = \overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber$ Наше геометричне визначення для додавання векторів задовольняє комутативну властивість (3.1.1). Ми можемо зрозуміти це геометрично, тому що в поданні від голови до хвоста для додавання векторів не має значення, з якого вектора ви починаєте, сума є тим самим вектором, як показано на малюнку 3.3.

3.3.свг — Малюнок 3.3: Комутативна властивість векторного додавання. (CC BY-NC; Відповідає)

(ii) Асоціативність

При додаванні трьох векторів не має значення, з яких двох ви починаєте $(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}) + \overrightarrow{\mathbf{C}} = \overrightarrow{\mathbf{A}}+(\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}}) \nonumber$ На малюнку 3.4a, ми додаємо та використовуємо комутативність $(\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}})+\overrightarrow{\mathbf{A}}$ , $\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}) + \overrightarrow{\mathbf{C}}$ щоб отримати той самий вектор, що і на малюнку 3.4a.

3.4a.svg — Малюнок 3.4a Асоціативне право. (CC BY-NC; Відповідає)

(iii) Елемент ідентичності для векторного додавання

Існує унікальний вектор $\overrightarrow{\mathbf{0}}$ , який виступає елементом ідентичності для векторного додавання. Для всіх $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ векторів $\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{0}} = \overrightarrow{\mathbf{0}}+\overrightarrow{\mathbf{A}} = \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber$

(iv) Зворотний елемент для векторного додавання

Для кожного вектора $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ існує унікальний обернений вектор, $-\overrightarrow{\mathbf{A}}$ такий, що $\overrightarrow{\mathbf{A}} + (-\overrightarrow{\mathbf{A}}) = \overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber$ вектор $-\overrightarrow{\mathbf{A}}$ має таку ж величину, що і $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ , $|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=|-\overrightarrow{\mathbf{A}}|=A$ але вони вказують в протилежні сторони (рис. 3.5).

3.5.свг — Малюнок 3.5 Адитивна зворотна. (CC BY-NC; Відповідає)

(2) Скалярне множення векторів

Вектори можна помножити на дійсні числа. $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ Дозволяти бути вектором. $\text{c}$ Дозволяти бути дійсним додатним числом. Тоді множення $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ на $\text{c}$ - це новий вектор, який ми позначимо символом $c \overrightarrow{\mathbf{A}}$ . Величина в $\text{c}$ рази більше величини $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ (рис. 3.6а) $c > 0$ , $|c \overrightarrow{\mathbf{A}}|=c|\overrightarrow{\mathbf{A}}| \nonumber$ Нехай, то напрямок $c \overrightarrow{\mathbf{A}}$ є таким же, як напрямок $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ . $c \overrightarrow{\mathbf{A}}$ Однак напрямок протилежне $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ (рис. 3.6). $-c \overrightarrow{\mathbf{A}}$

3.6.svg — Малюнок 3.6 Множення вектора $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ на $c > 0$ , і $−c < 0$ . (CC BY-NC; Відповідає)

Скалярне множення векторів задовольняє наступним властивостям:

(i) Асоціативний закон для скалярного множення

Порядок множення чисел не має значення. $c$ Дозволяти $b$ і бути дійсними числами. Тоді

$b(c \overrightarrow{\mathbf{A}})=(b c) \overrightarrow{\mathbf{A}}=(c b \overrightarrow{\mathbf{A}})=c(b \overrightarrow{\mathbf{A}}) \nonumber$

(ii) Розподільний закон для векторного додавання

Вектори задовольняють розподільному закону для векторного додавання. $c$ Дозволяти бути дійсним числом. Тоді

$c(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}})=c \overrightarrow{\mathbf{A}}+c \overrightarrow{\mathbf{B}} \nonumber$

Малюнок 3.7 ілюструє цю властивість.

3.7. Свг — Малюнок 3.7 Розподільний закон для векторного додавання. (CC BY-NC; Відповідає)

(iii) Розподільний закон для скалярного додавання

Вектори також задовольняють дистрибутивному закону для скалярного додавання. $c$ Дозволяти $b$ і бути дійсними числами.Тоді $(b+c) \overrightarrow{\mathbf{A}}=b \overrightarrow{\mathbf{A}}+c \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber$ наше геометричне визначення додавання векторів і скалярного множення задовольняє цій умові, як показано на малюнку 3.8.

3.8.svg — Малюнок 3.8 Розподільний закон для скалярного множення. (CC BY-NC; Відповідає)

(iv) Елемент ідентичності для скалярного множення

Число 1 виступає елементом ідентичності для множення,

$1\overrightarrow{\mathbf{A}} = \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber$

Визначення: Вектор одиниці

Ділення вектора на його величину призводить до отримання вектора одиничної довжини, який ми позначаємо символом каретки.

$\hat{\mathbf{A}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{A}}}{|\overrightarrow{\mathbf{A}}|} \nonumber$

Зауважте, що $|\hat{\mathbf{A}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}| /|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=1$