3.2: Системи координат

Фізика передбачає вивчення явищ, які ми спостерігаємо в світі. Для того щоб зв'язати явища з математикою, починаємо з введення поняття системи координат. Система координат складається з чотирьох основних елементів:

1. вибір походження
2. вибір осей
3. Вибір позитивного напрямку для кожної осі
4. Вибір одиничних векторів у кожній точці простору

Існує три часто використовувані системи координат: декартова, циліндрична і сферична. У цьому розділі ми опишемо декартову систему координат і циліндричну систему координат.

Декартова система координат

Декартові координати складаються з безлічі взаємно перпендикулярних осей, які перетинаються в загальній точці, початку\(O\). Ми живемо в тривимірному просторовому світі; з цієї причини найпоширеніша система, яку ми будемо використовувати, має три осі.

Вибір походження

Виберіть походження O в будь-якій точці, яка є найбільш зручною.

Вибір осей

Найпростіший набір осей відомий як декартові осі,\(x\) -вісь,\(y\) -вісь, і\(z\) -вісь, які знаходяться під прямим кутом відносно один одного. Тоді кожній точці\(P\) в просторі може бути присвоєно триплет значень\(\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\). Діапазони цих значень:\(-\infty<x_{P}<+\infty\),\(-\infty<y_{P}<+\infty\),\(-\infty<z_{P}<+\infty\).

Вибір позитивного напрямку

Наш третій вибір - це призначення позитивного напрямку для кожної осі координат. Позначимо цей вибір символом\(+\) уздовж позитивної осі. У задачах фізики ми можемо вибирати наші осі та позитивні напрямки будь-яким способом, який ми вирішуємо, найкраще підходить для даної проблеми. Проблеми, які дуже складні за допомогою 6 звичайних варіантів, можуть виявитися набагато простіше вирішити, зробивши продуманий вибір осей.

Вибір векторів одиниць

Тепер ми пов'язуємо з кожною точкою\(P\) в просторі, набір з трьох одиничних векторів\(\left(\hat{\mathbf{i}}_{P}, \hat{\mathbf{j}}_{P}, \hat{\mathbf{k}}_{P}\right)\). Одиничний вектор має величину одну:\(\left|\hat{\mathbf{i}}_{P}\right|=1,\left|\hat{\mathbf{j}}_{P}\right|=1, \text { and }\left|\hat{\mathbf{k}}_{P}\right|=1\). Призначаємо напрямок\(\hat{\mathbf{i}}_{P}\) до точки в сторону зростаючої\(x\) -координати в точці\(P\). Визначимо напрямки для\(\hat{\mathbf{j}}_{P}\) і\(\hat{\mathbf{k}}_{P}\)\(P\) в бік зростаючої\(y\) -координати і\(z\) -координати відповідно, (рис. 3.10). Якщо ми виберемо іншу точку і\(S\) визначимо подібний набір одиничних векторів\(\left(\hat{\mathbf{i}}_{S}, \hat{\mathbf{j}}_{S}, \hat{\mathbf{k}}_{S}\right)\), то одиничні вектори at\(S\) і P задовольняють рівності\[\hat{\mathbf{i}}_{S}=\hat{\mathbf{i}}_{P}, \hat{\mathbf{j}}_{S}=\hat{\mathbf{j}}_{P}, \text { and } \hat{\mathbf{k}}_{S}=\hat{\mathbf{k}}_{P}, \nonumber \]

тому що вектори рівні, якщо вони мають однаковий напрямок і величину незалежно від того, де вони розташовані в просторі.

Малюнок 3.10 Вибір одиничних векторів в точках P і S. (CC BY-NC; Відповідальний)

Декартова система координат є єдиною системою координат, в якій Рівняння (3.2.1) містить для всіх пар точок. Тому ми скидаємо посилання на точку P і використовуємо\(\left(\hat{\mathbf{i}}_{P}, \hat{\mathbf{j}}_{P}, \hat{\mathbf{k}}_{P}\right)\) для представлення одиничних векторів в декартовій системі координат (рис. 3.11).

Малюнок 3.11 Одиничні вектори в декартовій системі координат. (CC BY-NC; Відповідальний)

Циліндрична система координат

Багато фізичних об'єктів демонструють певний тип симетрії. Наприклад, якщо обертати рівномірний циліндр навколо поздовжньої осі (осі симетрії), то циліндр з'являється без змін. Операція обертання циліндра називається операцією симетрії, а об'єкт, що піддається операції, циліндр, точно такий же, як і до того, як була проведена операція. Ця властивість симетрії циліндрів передбачає систему координат, звану циліндричною системою координат, що робить симетричну властивість при обертаннях прозорою.

Спочатку вибираємо початок\(O\) і вісь через\(O\), яку ми називаємо\(z\) -віссю. Циліндричні координати точки\(P\) - це три числа\((r,θ,z)\) (рис. 3.12). Число\(z\) представляє звичну координату точки\(P\) вздовж\(z\) -осі. Невід'ємне число r представляє відстань від\(z\) осі -до точки\(P\). Точки в просторі, відповідні постійному позитивному значенню,\(r\) лежать на круговому циліндрі. Локусом точок,\(r = 0\) що відповідають, є\(z\) -вісь. У площині\(z = 0\) визначте еталонний промінь через\(O\), який ми будемо називати позитивною\(x\) -віссю. Проведіть лінію через точку\(P\), яка паралельна\(z\) -осі. \(D\)Дозволяти позначити точку перетину між цією лінією\(PD\) і площиною\(z = 0\). Намалюйте промінь\(OD\) від початку до точки\(D\). Нехай\(θ\) позначають спрямований кут від опорного променя до променя\(OD\). Кут позитивний\(θ\) при вимірюванні проти годинникової стрілки і негативний при вимірюванні за годинниковою стріл

Малюнок 3.12 Циліндричні координати. (CC BY-NC; Відповідальний)

Координати\((r,θ)\) називаються полярними координатами. Перетворення координат між\((r,θ)\) і декартовими координатами\((x, y)\) задаються

\[x=r \cos \theta, \nonumber \]

\[y=r \sin \theta. \nonumber \]

І навпаки, якщо нам задані декартові координати\((x, y)\), координати\((r,θ)\) можна визначити за перетвореннями координат\[r=+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1 / 2} \nonumber \]

\[\theta=\tan ^{-1}(y / x) \nonumber \]

Ми вибираємо набір одиничних векторів\(\left(\hat{\mathbf{r}}_{P}, \hat{\mathbf{θ}}_{P}, \hat{\mathbf{k}}_{P}\right)\) в точці\(P\) наступним чином. Вибираємо\( \hat{\mathbf{k}}_{P} \) вказувати в бік збільшення\(z\). Вибираємо точку\(\hat{\mathbf{r}}_{P}\) в напрямку збільшення\(r\), спрямовану радіально від\(z\) -осі. Вибираємо\(\hat{\mathbf{θ}}_{P}\) вказувати в бік збільшення\(θ\). Цей одиничний вектор вказує в напрямку проти годинникової стрілки, по дотичній до кола (рис. 3.13а). Однією з найважливіших відмінностей між циліндричними координатами та декартовими координатами є вибір одиничних векторів. Припустимо, ми розглядаємо іншу точку\(S\) в площині. \(S\)Одиничні вектори\(\left(\hat{\mathbf{r}}_{\mathrm{s}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}_{\mathrm{s}}, \hat{\mathbf{k}}_{\mathrm{s}}\right)\) в точці також показані на малюнку 3.13. Відзначимо, що\(\hat{\mathbf{r}}_{P} \neq \hat{\mathbf{r}}_{S} \text { and } \hat{\boldsymbol{\theta}}_{p} \neq \hat{\boldsymbol{\theta}}_{S}\) тому їх напрямок відрізняється. Відкинемо індекси, що позначають точки, в яких визначені одиничні вектори, і прості відносяться до набору одиничних векторів в точці як\((\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}, \hat{\mathbf{k}})\), з розумінням того, що напрямки множини\((\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}})\) залежать від розташування даної точки.

Малюнок 3.13: (a) Вектори одиниць у двох різних точках у циліндричних координатах. (b) Одиничні вектори в полярних координатах та декартових координатах. (CC BY-NC; Відповідальний)

Одиничні вектори\((\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}})\) в точці\(P\) також пов'язані з декартовими одиничними векторами\((\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}})\) перетвореннями.

\[\hat{\mathbf{r}}=\cos \theta \, \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta \, \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

\[\hat{\mathbf{θ}}=-\sin \theta \, \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta \, \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Аналогічно зворотні перетворення задаються

\[\hat{\mathbf{i}}=\cos \theta \, \hat{\mathbf{r}}-\sin \theta \,\hat{\mathbf{θ}} \nonumber \]

\[\hat{\mathbf{j}}=\sin \theta \, \hat{\mathbf{r}}+\cos \theta \, \hat{\mathbf{ θ}} \nonumber \]

Циліндрична система координат також є корисним вибором для опису руху об'єкта, що рухається по колу навколо центральної точки. Розглянемо вертикальну вісь, що проходить перпендикулярно площині руху, що проходить через цю центральну точку. Тоді будь-яке обертання навколо цієї вертикальної осі залишає кола без змін.