Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2: Системи координат

Фізика передбачає вивчення явищ, які ми спостерігаємо в світі. Для того щоб зв'язати явища з математикою, починаємо з введення поняття системи координат. Система координат складається з чотирьох основних елементів:

  1. вибір походження
  2. вибір осей
  3. Вибір позитивного напрямку для кожної осі
  4. Вибір одиничних векторів у кожній точці простору

Існує три часто використовувані системи координат: декартова, циліндрична і сферична. У цьому розділі ми опишемо декартову систему координат і циліндричну систему координат.

Декартова система координат

Декартові координати складаються з безлічі взаємно перпендикулярних осей, які перетинаються в загальній точці, початкуO. Ми живемо в тривимірному просторовому світі; з цієї причини найпоширеніша система, яку ми будемо використовувати, має три осі.

Вибір походження

Виберіть походження O в будь-якій точці, яка є найбільш зручною.

Вибір осей

Найпростіший набір осей відомий як декартові осі,x -вісь,y -вісь, іz -вісь, які знаходяться під прямим кутом відносно один одного. Тоді кожній точціP в просторі може бути присвоєно триплет значень(xP,yP,zP). Діапазони цих значень:<xP<+,<yP<+,<zP<+.

Вибір позитивного напрямку

Наш третій вибір - це призначення позитивного напрямку для кожної осі координат. Позначимо цей вибір символом+ уздовж позитивної осі. У задачах фізики ми можемо вибирати наші осі та позитивні напрямки будь-яким способом, який ми вирішуємо, найкраще підходить для даної проблеми. Проблеми, які дуже складні за допомогою 6 звичайних варіантів, можуть виявитися набагато простіше вирішити, зробивши продуманий вибір осей.

Вибір векторів одиниць

Тепер ми пов'язуємо з кожною точкоюP в просторі, набір з трьох одиничних векторів(ˆiP,ˆjP,ˆkP). Одиничний вектор має величину одну:|ˆiP|=1,|ˆjP|=1, and |ˆkP|=1. Призначаємо напрямокˆiP до точки в сторону зростаючоїx -координати в точціP. Визначимо напрямки дляˆjP іˆkPP в бік зростаючоїy -координати іz -координати відповідно, (рис. 3.10). Якщо ми виберемо іншу точку іS визначимо подібний набір одиничних векторів(ˆiS,ˆjS,ˆkS), то одиничні вектори atS і P задовольняють рівностіˆiS=ˆiP,ˆjS=ˆjP, and ˆkS=ˆkP,

тому що вектори рівні, якщо вони мають однаковий напрямок і величину незалежно від того, де вони розташовані в просторі.

3.10.свг
Малюнок 3.10 Вибір одиничних векторів в точках P і S. (CC BY-NC; Відповідальний)

Декартова система координат є єдиною системою координат, в якій Рівняння (3.2.1) містить для всіх пар точок. Тому ми скидаємо посилання на точку P і використовуємо(ˆiP,ˆjP,ˆkP) для представлення одиничних векторів в декартовій системі координат (рис. 3.11).

3.11.svg
Малюнок 3.11 Одиничні вектори в декартовій системі координат. (CC BY-NC; Відповідальний)

Циліндрична система координат

Багато фізичних об'єктів демонструють певний тип симетрії. Наприклад, якщо обертати рівномірний циліндр навколо поздовжньої осі (осі симетрії), то циліндр з'являється без змін. Операція обертання циліндра називається операцією симетрії, а об'єкт, що піддається операції, циліндр, точно такий же, як і до того, як була проведена операція. Ця властивість симетрії циліндрів передбачає систему координат, звану циліндричною системою координат, що робить симетричну властивість при обертаннях прозорою.

Спочатку вибираємо початокO і вісь черезO, яку ми називаємоz -віссю. Циліндричні координати точкиP - це три числа(r,θ,z) (рис. 3.12). Числоz представляє звичну координату точкиP вздовжz -осі. Невід'ємне число r представляє відстань відz осі -до точкиP. Точки в просторі, відповідні постійному позитивному значенню,r лежать на круговому циліндрі. Локусом точок,r=0 що відповідають, єz -вісь. У площиніz=0 визначте еталонний промінь черезO, який ми будемо називати позитивноюx -віссю. Проведіть лінію через точкуP, яка паралельнаz -осі. DДозволяти позначити точку перетину між цією лінієюPD і площиноюz=0. Намалюйте проміньOD від початку до точкиD. Нехайθ позначають спрямований кут від опорного променя до променяOD. Кут позитивнийθ при вимірюванні проти годинникової стрілки і негативний при вимірюванні за годинниковою стріл

3.12.свг
Малюнок 3.12 Циліндричні координати. (CC BY-NC; Відповідальний)

Координати(r,θ) називаються полярними координатами. Перетворення координат між(r,θ) і декартовими координатами(x,y) задаються

x=rcosθ,

y=rsinθ.

І навпаки, якщо нам задані декартові координати(x,y), координати(r,θ) можна визначити за перетвореннями координатr=+(x2+y2)1/2

θ=tan1(y/x)

Ми вибираємо набір одиничних векторів(ˆrP,ˆθP,ˆkP) в точціP наступним чином. ВибираємоˆkP вказувати в бік збільшенняz. Вибираємо точкуˆrP в напрямку збільшенняr, спрямовану радіально відz -осі. ВибираємоˆθP вказувати в бік збільшенняθ. Цей одиничний вектор вказує в напрямку проти годинникової стрілки, по дотичній до кола (рис. 3.13а). Однією з найважливіших відмінностей між циліндричними координатами та декартовими координатами є вибір одиничних векторів. Припустимо, ми розглядаємо іншу точкуS в площині. SОдиничні вектори(ˆrs,ˆθs,ˆks) в точці також показані на малюнку 3.13. Відзначимо, щоˆrPˆrS and ˆθpˆθS тому їх напрямок відрізняється. Відкинемо індекси, що позначають точки, в яких визначені одиничні вектори, і прості відносяться до набору одиничних векторів в точці як(ˆr,ˆθ,ˆk), з розумінням того, що напрямки множини(ˆr,ˆθ) залежать від розташування даної точки.

3.13a.svg
3.13b.svg
Малюнок 3.13: (a) Вектори одиниць у двох різних точках у циліндричних координатах. (b) Одиничні вектори в полярних координатах та декартових координатах. (CC BY-NC; Відповідальний)

Одиничні вектори(ˆr,ˆθ) в точціP також пов'язані з декартовими одиничними векторами(ˆi,ˆj) перетвореннями.

ˆr=cosθˆi+sinθˆj

ˆθ=sinθˆi+cosθˆj

Аналогічно зворотні перетворення задаються

ˆi=cosθˆrsinθˆθ

ˆj=sinθˆr+cosθˆθ

Циліндрична система координат також є корисним вибором для опису руху об'єкта, що рухається по колу навколо центральної точки. Розглянемо вертикальну вісь, що проходить перпендикулярно площині руху, що проходить через цю центральну точку. Тоді будь-яке обертання навколо цієї вертикальної осі залишає кола без змін.