30.5: Куля котиться на обертовій площині

(Наступні приклади з Мілна, Векторна механіка.)

Куля котиться без ковзання по горизонтальній площині. Площина сама обертається з постійною кутовою швидкістю$\omega$.

Ми маємо три векторні рівняння: рівняння Ньютона для лінійного та кутового прискорення та умова кочення. Ми хочемо знайти шлях, пройдений котиться кулькою на обертовій поверхні, тобто$\vec{r}(t)$. Ми будемо використовувати наші три рівняння, щоб усунути дві (векторні) змінні: силу реакції між площиною і м'ячем$\vec{R}, \text { and the angular velocity } \vec{\Omega}$.

Рівняння руху сфери (радіус$a$, маса$m$, центр при$\vec{r}$ виміряних в лабораторії, горизонтально від осі обертання площини) з$\vec{R}$ контактною силою площини на сферу, є

\ begin {рівняння}
м\ vec {r} =\ vec {R} -м г\ vec {n},\ quad I\ overrightarrow {\ vec {\ Омега}} =-а\ overrightarrow {\ vec {n}}\ times\ vec {R}
\ кінець {рівняння}

(Звичайно, гравітаційна сила тут якраз врівноважує вертикальну складову сили реакції, але це вже не стосується нахиленої площини, обробленої в наступному розділі.)

Спочатку усунемо силу реакції,$\vec{R}$ щоб отримати рівняння руху:

\ begin {рівняння}
I\ переправа стрілка {\ vec {\ Омега}} =-а м\ переправа стрілка {\ vec {n}}\ times (\ stackrel {\ ddot {\ vec {r}}} +\ переправа {g n}) =\ ім'я оператора {am}\ ddot {\ vec {r}}\ times\ widehat {\ vec {n}
\ end {рівняння}

Умова кочення:

\ begin {рівняння}
\ точка {\ vec {r}} -а\ vec {\ Омега}\ раз\ widehat {\ vec {n}} =\ омега\ overrightarrow {\ vec {n}}\ times\ vec {r}
\ кінець {рівняння}

права сторона є локальна швидкість поворотного столу,$\vec{r}$ виміряна від початку в центрі обертання.

Ми будемо використовувати стан кочення, щоб усунути$\dot{\vec{\Omega}}$ і дати нам рівняння для фактичного шляху сфери.

По-перше, диференціюйте його (пам'ятайте$\widehat{\vec{n}}, \omega$, обидва постійні), щоб отримати

\ begin {рівняння}
\ ddot {\ vec {r}} -а\ overrightarrow {\ vec {\ Омега}}\ раз\ widehat {\ vec {n}} =\ омега\ overrightarrow {\ vec {n}}\ час\ overrightarrow {\ vec {r}}
\ кінець {рівняння}

Далі візьмемо рівняння руху\ (\ begin {рівняння}
I\ overrightarrow {\ vec {\ Omega}} =\ ім'я оператора {am}\ ddot {\ vec {r}}\ times\ widehat {\ vec {n}}\ text {
\ end {рівняння}\)

\ begin {рівняння}
I\ vec {\ Омега}\ раз\ widehat {\ vec {n}} = a m (\ vec {r}\ times\ overrightarrow {\ vec {n}})\ час\ widehat {\ vec {n}} =-\ ім'я оператора {am}\ overrightarrow {\ vec {r}}
\ кінець {рівняння}

і зібрати їх разом, щоб позбутися від кутової швидкості,

\ begin {рівняння}
\ лівий (1+a^ {2} м/I\ праворуч)\ stackrel {\ ddot {r}} {r} =\ омега\ widehat {\ vec {n}}\ раз\ точка {\ vec {r}}
\ кінець {рівняння}

Це інтегрується в

\ begin {рівняння}
\ точка {\ vec {r}} =\ лівий (\ frac {\ омега} {1+a^ {2} м/I}\ праворуч)\ widhat {\ vec {n}}\ раз\ вліво (\ vec {r} _ {0}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

який є лише рівнянням для стійкого кругового руху навколо точки$\vec{r}_{0}$.

Для рівномірної сфери,$I=\frac{2}{5} M a^{2}, \text { so } \dot{\vec{r}}=\frac{2}{7} \omega \widehat{\vec{n}} \times\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)$

Так кулька, що катається по обертовій пластині, йде по колу, який може бути будь-яким колом. Якщо його м'яко опустити в будь-яку точку на обертовій площині і утримувати на місці, поки він не досягне швидкості (тобто відсутність ковзання), він залишиться в цій точці досить довго (поки не менш досконалі умови, такі як опір повітря або вібрація, спричинять помітний дрейф). Якщо його підштовхнути, він буде рухатися по колу. На заняттях ми багато разів бачили його коло - врешті-решт, він відвалився, результат опору повітря плюс недоліки нашого апарату, але круговий шлях був дуже чітким.