30.6: Куля котиться на похилій обертовій площині

Ми візьмемо одиничні вектори\(\begin{equation}\widehat{\vec{z}} \text { pointing vertically up, } \widehat{\vec{i}}\end{equation}\) перпендикулярно вгору від площини, кут між цими двома одиничними векторами дорівнює α. (Нам знадобиться набір ортогональних одиничних векторів\(\widehat{\vec{i}}, \widehat{\vec{j}}, \widehat{\vec{k}}\), не закріплених в площині, а відповідним чином орієнтованих, з\(\vec{k}\) горизонтальними.) Вектор до центру сфери (радіус\(a\), маса\(m\)) від початку координат на осі обертання, в точці а над площиною, є\(\vec{r}\). Сила контактної реакції площини на сферу дорівнює\(\vec{R}\).

Рівняннями руху є:

\ begin {рівняння}
м\ vec {r} =\ vec {R} -m g\ overrightarrow {\ vec {z}},\ quad I\ overrightarrow {\ vec {\ Omega}} =-a\ overrightarrow {\ vec {i}}\ times\ vec {R}
\ кінець {рівняння}

і рівняння контакту кочення є\(\vec{r}-a \vec{\Omega} \times \overrightarrow{\vec{i}}=\overrightarrow{\omega i} \times \vec{r}\).

Спочатку виключаємо\(\vec{R}\) з рівнянь руху, щоб дати

\ begin {рівняння}
\ vec {\ Омега} =( a m/I) (\ vec {r} +g\ vec {z})\ times\ overrightarrow {\ vec {i}}
\ end {рівняння}

Зверніть увагу\(\dot{\vec{\Omega}} \cdot \widehat{\vec{i}}=0\), що, таким чином, спина в напрямку, нормаль до площини, постійна,\(\vec{\Omega} \cdot \overrightarrow{\vec{i}}=n\)

сказати. (Обидві сили на сфері мають нульовий крутний момент навколо цієї осі.)

Інтеграція,

\ begin {рівняння}
\ vec {\ Омега} +\ текст {const.} =( м а/я) (\ vec {r} +g t\ vec {z})\ times\ vec {i}
\ end {рівняння}

Тепер усуньте\(\vec{\Omega}\), множивши обидві сторони на\(\times \vec{i}\) і використовуючи рівняння контакту кочення

\ begin {рівняння}
\ точка {\ vec {r}} -а\ vec {\ Omega}\ times\ overrightarrow {\ vec {i}} =\ омега\ overrightarrow {\ vec {i}}\ times\ vec {r}
\ кінець {рівняння}

знайти:

\ begin {рівняння}
\ лівий (м a^ {2}/I\ праворуч) [(\ vec {r} +г т\ widehat {\ vec {z}})\ раз\ overrightarrow {\ vec {i}]\ times\ vec {i} =\ vec {\ vec {i} +\ текст {const.} =\ overrightarrow {\ vec

UndefinedNameError: reference to undefined name 'r' (click for details)

Callstack:
    at (фізики/Класична_механіка/Випускник_класичної_механіки_(Fowler)/30:_рухома_сфера_на_обертовій_площині/30.06:_Куля_котиться_на_похилій_обертовій_площині), /content/body/p[15]/span, line 1, column 1

-\ омега\ vec {i}\ times\ vec {r} +\ text {const.}
\ end {рівняння}

потім за допомогою\ (\ begin {рівняння}
(\ vec {r}\ times\ overrightarrow {\ vec {i}})\ раз\ vec {i} =-\ vec {r}, (\ widehat {\ vec {z}}\ час\ vec {i}} =-\ overrightarrow {\ vec {j}}
\ кінець {рівняння}\), знаходимо

\ begin {рівняння}
\ точка {\ vec {r}}\ лівий (1+м a^ {2}/I\ праворуч) +\ лівий (м ^ {2}/I\ праворуч) g t\ overrightarrow {\ vec {j}}\ sin\ альфа+\ текст {const.} =\ overrightarrow {\ omega i}\ times\ vec {r}
\ кінець {рівняння}

Константа фіксується початковим положенням\(\vec{r}_{0}\), даючи остаточно

\ begin {рівняння}
\ точка {\ vec {r}} =\ фракція {\ омега} {1+м a^ {2}/I}\ overrightarrow {\ vec {i}}\ раз\ ліворуч [\ vec {r} -\ vec {r} _ {0}\ праворуч) +\ frac {m a^ {2}/I} {\ омега} г\ широкий hat {\ vec {k}}\ sin\ альфа\ право]
\ кінець {рівняння}

Перший член у квадратних дужках дасть той самий круговий рух, який ми знайшли для горизонтальної обертової площини, другий член додає стійкий рух центру цього кола, в горизонтальному напрямку (не вниз по площині!) на постійній швидкості\(\left(m a^{2} / I \omega\right) g \sin \alpha\).

(Це ідентично руху зарядженої частинки в схрещених електричних і магнітних полах.)

Підсумок: інтуїтивне уявлення про те, що м'яч котиться на обертовій похилій вертушці, як правило, котитися вниз, неправильно! Нагадаємо, що для частинки, що кружляє в магнітному полі, якщо електричне поле додається перпендикулярно магнітному полю, частинка рухається в циклоїді з тим же середнім електричним потенціалом - вона не має чистого руху в напрямку електричного поля, тільки перпендикулярно йому. Наш рухомий куля слідує ідентичним циклоїдним шляхом, зберігаючи той самий середній гравітаційний потенціал.