Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

30.4: Куля із зовнішніми силами, що котиться на горизонтальній площині

  • Page ID
    75383
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ось як це працює на простому прикладі (зроблено в Ландау, і див. діаграму нижче): рівняння руху сфери, що котиться по нерухомій горизонтальній площині під зовнішньою силою\(\vec{F}\) і крутним моментом\(\vec{K}\)\).

    Беручи реакцію на площині бути\(\vec{R}\) (і зверніть увагу, що це може бути в будь-якому напрямку вгору, а не в загальному вертикальному), ми маємо

    \ begin {рівняння}
    \ почати {масив} {c}
    М д\ vec {V}/d t=\ vec {F} +\ vec {R}\\
    I d\ vec {\ Омега}/d t=\ vec {K} -a\ vec {n}\ times\ vec {R}
    \ кінець {масив}
    \ кінець {рівняння}

    Рівняння обмеження, диференційоване\(\vec{V}=a \overrightarrow{\vec{\Omega}} \times \vec{n}\), дає, тому перше рівняння можна записати

    \ begin {рівняння}
    M a\ vec {\ Омега}\ раз\ vec {n} =\ vec {F} +\ vec {R}
    \ end {рівняння}

    потім підставляючи\(\dot{\vec{\Omega}}\) з другого рівняння,

    \ почати {рівняння}
    (I/a M) (\ vec {F} +\ vec {R}) =\ vec {K}\ раз\ vec {n} -a\ vec {R} +a\ vec {n} (\ vec {n}\ cdot\ vec {R})
    \ кінець {рівняння}

    clipboard_e4f45a78019c8164e032596c791f94015.png

    Це рівняння дає складові сили реакції як функції зовнішньої сили і пари: швидкості усунені. Отже, тепер ми можемо поставити\(\vec{R}\) в перше рівняння руху, що дає поступальне прискорення з точки зору зовнішньої сили і крутного моменту. Зверніть увагу, що будь-яка вертикальна складова крутного моменту не\(\vec{K}\) вплине на реакцію на площині\(\vec{R}\) (це буде просто обертати кульку про точку дотику), тому ми маємо, використовуючи\(I=\frac{2}{5} M a^{2}\).

    \ begin {рівняння}
    R_ {x} =\ frac {5} {7}\ ліворуч (K_ {y}/a\ праворуч) -\ frac {2} {7} F_ {x},\ квад R_ {y} =-\ frac {5} {7}\ ліво (K_ {x}/a\ праворуч) -\ frac {2} {7} {y}
    \ end {рівняння}

    і заміщення в вихідних рівняннях руху дає

    \ begin {рівняння}

    \ почати {вирівняний}\ розрив {d V_ {x}} {d t} &=\ розрив {5} {7 М}\ лівий (F_ {x} +\ frac {K_ {y}}} {a}\ правий)
    \\ frac {d V_ {y}} {d t} &=\ frac {5} {M}\ лівий (F_ {y} -\ розрив {K_ {x}} {a}\ праворуч)
    \ кінець {вирівняний}
    \ кінець {рівняння}

    Вправа: інтерпретувати це для випадку нульового крутного моменту та для випадку нульової сили.

    Ландау продовжує вирішувати три статичні проблеми, які можуть бути у вступному курсі фізики. Ми їх пропустимо.