30.2: Голономні обмеження та неголономні обмеження

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75364

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Сфера, що котиться по площині без ковзання, обмежена в своєму поступальному і обертальному русі вимогою, щоб точка сфери на мить контактує з площиною знаходиться в стані спокою. Як ми включаємо цю умову в динамічний аналіз: підхід найменшої дії, наприклад, або прямі ньютонівські рівняння руху?

Ми почнемо з більш простого прикладу, що циліндр кочення в напрямку x, його орієнтація\(\phi\) визначається як нуль, коли він проходить початок x, і його радіус a. Ми відразу бачимо, що його орієнтація однозначно визначається його положенням (для відсутності ковзання)\(x=a \phi, \text { or } v-a \dot{\phi}=0\). Обмеження дозволяє усунути одну з динамічних змінних з рівняння. Якщо ми виміряємо його положення пізніше, ми знаємо кут, через який він повернувся. Цей же аргумент працює і для циліндра, що котиться всередині більшого циліндра.

Обмеження на динамічній системі, яка може бути інтегрована таким чином, щоб усунути одну зі змінних, називається голономічним обмеженням. Обмеження, яке неможливо інтегрувати, називається неголономічним обмеженням.

Для сфери, що котиться по шорсткій площині, обмеження нековзання виявляється неголономічним.

Щоб побачити це, уявіть собі сферу, розміщену біля початку у площині (x, y). Називайте точку у верхній частині сфери Північним полюсом. Тепер розгортайте сферу вздовж осі х, поки вона не розвернулася на дев'яносто градусів. Його вісь NS тепер паралельна осі x, полюс N вказує в позитивному напрямку x. Тепер розкачайте його через дев'яносто градусів в напрямку, паралельному осі y. N полюс все ще вказує в позитивному напрямку x, сфера, прийнята, щоб мати радіус одиниці, знаходиться на\((\pi / 2, \pi / 2)\).

Тепер почніть знову з початку, N полюс зверху. Цього разу спочатку перекиньте сферу через дев'яносто градусів у напрямку y. Полюс N тепер вказує вздовж позитивної осі y. Далі, перекиньте сферу через дев'яносто градусів у напрямку x: ми повернулися до точки,\((\pi / 2, \pi / 2)\) але на цей раз полюс N спрямований у напрямку y.

Суть полягає в тому, що, на відміну від циліндричного випадку, для рухомої сфери обмеження не ковзання не дозволяє нам усунути будь-які динамічні змінні - враховуючи, що спочатку сфера знаходиться на початку з N полюсом вгорі, немає унікального зв'язку між орієнтацією \((\theta, \phi)\)і положення (x, y) в більш пізній момент, ми повинні були б знати історію прокатки, і насправді ми можемо відкотитися до початку за іншим маршрутом і взагалі N полюс не буде вгорі, коли ми повернемося.

Отже, рівняння обмеження, яке можна записати

\ begin {рівняння}
\ vec {V} -a\ vec {\ Omega}\ times\ vec {n} =0
\ end {рівняння}

не дозволяє усунути змінну, але вона, безумовно, грає роль в динаміці! Як ми бачили, однакове рівняння для циліндра\(d x / d t-a d \phi / d t=0, \text { trivially integrates to } x=a \phi+c\), однозначно пов'язуючи зміну орієнтації зі зміною положення. Ми бачимо, що для кульки, що котиться в двох вимірах, такого інтеграла бути не може.

Можливий підхід полягає у використанні множників Лагранжа для врахування обмеження, так само, як при отриманні рівняння для контактної мережі фіксованої довжини рядка, введеного як обмеження. Роблячи це для рухомого м'яча, виявляється, призводить до дуже брудної проблеми - на один раз передовий підхід до динаміки не окупається. Але є кращий спосіб.