Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

22.6: Кратні частоти

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75595

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вищевказаний аналіз для частот не дуже далекий від\(\omega_{0}\). Але нелінійні терміни можуть спричинити резонанс на частотах, які є раціональними кратними\(\omega_{0}\). Ландау показує, що мала\(\frac{1}{3} \alpha x^{3}\) в потенціалі (так додаткова сила\(\alpha x^{2}\) в рівнянні руху) може генерувати резонанс поблизу\(\gamma=\frac{1}{2} \omega_{0}\). Ми розглядали лише квартичне доповнення до потенціалу\(\frac{1}{4} \beta x^{4}, \text { a force } \beta x^{3}\), ми можемо показати, що дає резонанс поблизу\(\gamma=\frac{1}{3} \omega_{0}\), і, мабуть, це невеликий удар біля початку кривих вище для великої сили руху.

    \(\text { We have } \ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=(f / m) \cos \gamma t-\beta x^{3}\)

    \(\text { We'll write } x=x^{(0)}+x^{(1)}+\ldots\)

    \(\text { Let's define } x^{(0)} \text { by }\)

    \[\ddot{x}^{(0)}+2 \lambda \dot{x}^{(0)}+\omega_{0}^{2} x^{(0)}=(f / m) \cos \gamma t\]

    \(\text { So } x^{(0)}=b \cos (\gamma t+\delta) . \text { Then }\)

    \ [\ почати {вирівняний}
    \ ddot {x} ^ {(1)} +2\ лямбда\ точка {x} ^ {(1)} +\ омега_ {0} ^ {2} x^ {(1)} &=-\ бета\ ліворуч (x^ {(0)}\ праворуч) ^ {3}\\
    &=-\ бета b^ {3}\ cos ^ {3} (\ гамма t+\ дельта)\\
    &=-\ бета b ^ {3}\ лівий [\ гідророзрив {3} {4}\ cos (\ гамма т+\ дельта) +\ гідророзриву {1} {4}\ cos (3\ гамма t+\ дельта)\ праворуч]
    \ кінець {вирівняний}\]

    Тоді, для\(\gamma=\frac{1}{3} \omega_{0}\), другий член\(-\beta b^{3} \frac{1}{4} \cos (3 \gamma t+\delta)=-\beta b^{3} \frac{1}{4} \cos \left(\omega_{0} t+\delta\right)\), матиме резонансний відгук, хоча він пропорційний (малій) амплітуди в кубі. Подібні аргументи працюють і для інших дробових частот.