22.6: Кратні частоти

Вищевказаний аналіз для частот не дуже далекий від$\omega_{0}$. Але нелінійні терміни можуть спричинити резонанс на частотах, які є раціональними кратними$\omega_{0}$. Ландау показує, що мала$\frac{1}{3} \alpha x^{3}$ в потенціалі (так додаткова сила$\alpha x^{2}$ в рівнянні руху) може генерувати резонанс поблизу$\gamma=\frac{1}{2} \omega_{0}$. Ми розглядали лише квартичне доповнення до потенціалу$\frac{1}{4} \beta x^{4}, \text { a force } \beta x^{3}$, ми можемо показати, що дає резонанс поблизу$\gamma=\frac{1}{3} \omega_{0}$, і, мабуть, це невеликий удар біля початку кривих вище для великої сили руху.

$\text { We have } \ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=(f / m) \cos \gamma t-\beta x^{3}$

$\text { We'll write } x=x^{(0)}+x^{(1)}+\ldots$

$\text { Let's define } x^{(0)} \text { by }$

$$\ddot{x}^{(0)}+2 \lambda \dot{x}^{(0)}+\omega_{0}^{2} x^{(0)}=(f / m) \cos \gamma t$$

$\text { So } x^{(0)}=b \cos (\gamma t+\delta) . \text { Then }$

\ [\ почати {вирівняний}
\ ddot {x} ^ {(1)} +2\ лямбда\ точка {x} ^ {(1)} +\ омега_ {0} ^ {2} x^ {(1)} &=-\ бета\ ліворуч (x^ {(0)}\ праворуч) ^ {3}\\
&=-\ бета b^ {3}\ cos ^ {3} (\ гамма t+\ дельта)\\
&=-\ бета b ^ {3}\ лівий [\ гідророзрив {3} {4}\ cos (\ гамма т+\ дельта) +\ гідророзриву {1} {4}\ cos (3\ гамма t+\ дельта)\ праворуч]
\ кінець {вирівняний}\]

Тоді, для$\gamma=\frac{1}{3} \omega_{0}$, другий член$-\beta b^{3} \frac{1}{4} \cos (3 \gamma t+\delta)=-\beta b^{3} \frac{1}{4} \cos \left(\omega_{0} t+\delta\right)$, матиме резонансний відгук, хоча він пропорційний (малій) амплітуди в кубі. Подібні аргументи працюють і для інших дробових частот.