Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

22.3: Резонанс у демпфірованому лінійному осциляторі - короткий огляд

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75578

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Це лише для того, щоб нагадати вам про те, що ми висвітлювали в лекції 18, перш ніж додати ангармонічні терміни в наступному розділі.

    Лінійний демпфірований керований генератор має рівняння руху:

    \[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=(f / m) e^{i \gamma t}\]

    (Після позначення Ландау тут зверніть увагу, що це означає, що фактична сила тертя є\(2 \lambda m \dot{x}\))

    Дивлячись поблизу резонансу для розв'язків сталого стану на рушійній частоті, з амплітудою\(b\)\(\delta\), фазовим відставанням\(x(t)=b e^{i(\gamma t+\delta)}\), тобто знаходимо

    \[b e^{i \delta}\left(-\gamma^{2}+2 i \lambda \gamma+\omega_{0}^{2}\right)=(f / m)\]

    Для майже резонансної частоти водіння

    \[\gamma=\omega_{0}+\varepsilon\]

    і припускаючи, що демпфування буде досить малим, що ми можемо скинути термін разом з, провідні терміни замовлення дають

    \[b e^{i \delta}=-f / 2 m(\varepsilon-i \lambda) \omega_{0}\]

    тому реакція, залежність амплітуди\(b\) від частоти\(\Omega=\omega_{0}+\varepsilon\) водіння до цієї точності

    \[b=\frac{f}{2 m \omega_{0} \sqrt{\left(\gamma-\omega_{0}\right)^{2}+\lambda^{2}}}=\frac{f}{2 m \omega_{0} \sqrt{\varepsilon^{2}+\lambda^{2}}}\]

    (Зверніть увагу також, що резонансна частота сама по собі знижується демпфуванням, ще одним ефектом другого порядку ми будемо ігнорувати.)

    clipboard_ec0e2ed38607036bce753bc9145d63ac4.png

    Швидкість поглинання енергії дорівнює втраті на тертя. Сила тертя\(2 \lambda m \dot{x}\) на масу, що\(\dot{x}\) рухається при, робить роботу з середньою швидкістю:

    \[2 \lambda m \overline{x^{2}}=\lambda m b^{2} \gamma^{2}\]

    Половина ширини резонансної кривої як функція\(\gamma\) задається демпфуванням. Загальна площа під кривою не залежить від демпфування.

    Для подальшого використання ми напишемо вищевказане рівняння амплітуди з\(b\) точки зору відхилення\(\varepsilon\) від резонансної частоти\(\omega_{0}\).

    \[b^{2}\left(\varepsilon^{2}+\lambda^{2}\right)=\frac{f^{2}}{4 m^{2} \omega_{0}^{2}}, \quad \varepsilon=\gamma-\omega_{0}\]