22.1: Вступ до резонансних нелінійних коливань

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75579

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Наступні розділи Ландау (глава 6, розділи 28,29) стосуються нелінійних одновимірних систем. Зокрема, він зосереджується на керованих демпфірованих осциляторах з нелінійними, але невеликими, доданими потенційними термінами. Використовуючи геніальні напівкількісні прийоми, він прогнозує деякі несподівані результати: наприклад, розрив амплітуди коливань при повільному зміні рушійної частоти при постійній рушійній силі (і постійному гасінні). Він також знаходить резонанси, коли частота руху становить частку, наприклад, третину, власної частоти генератора.

На щастя, цю систему легко аналізувати чисельно, і у нас є аплет, щоб зробити саме це. Параметри задаються повзунками, і відразу можна знайти великий розрив по амплітуді (множник два або близько того), оскільки частота трохи змінюється. Наприкінці цієї лекції ми показуємо прості сюжети амплітудної реакції на постійну рушійну силу, коли частота змінюється. Вони були знайдені за допомогою аплету, читач може легко перевірити їх і ризикнути в частини простору параметрів. Аплет забезпечує міру (напівкількісної) точності Ландау, звичайно, напрочуд хорошу (близько 20% похибки або менше), враховуючи характер проблеми.

Слід додати, що це одна область, де завдяки комп'ютерам були досягнуті значні успіхи з моменту написання книги Ландау, зокрема відкриття для деяких систем подвоєння періоду та хаосу в міру збільшення рушійної сили. Ми додали лекцію (22а) про певну систему, керований демпфірований маятник, природне розширення осцилятора Ландау. Це ілюструє деякі особливості роману. Ми будемо слідувати частині глави 12 відмінного тексту Тейлора «Класична механіка». Тейлор надає багато комп'ютерних графіків відгуку маятника, оскільки параметри змінюються. Ми надаємо аплети, які можуть генерувати ці графіки. Читач може легко використовувати ці аплети для вивчення інших параметрів.

У цій лекції, щоб отримати трохи інтуїції щодо цих нелінійних потенціалів, ми почнемо (після Ландау) без водіння та без демпфування: просто частинка коливається в потенціалі, який є простим гармонічним плюс малі та (позитивні) терміни. Основні питання: як ці терміни змінюють частоту коливань і як ця частота залежить від амплітуди коливань? Відповіді допоможуть нам зрозуміти, як частка в такому потенціалі буде реагувати на гармонійний термін водіння, плюс демпфування.

Далі ми коротко розглянемо керований демпфірованний лінійний осцилятор (детально розглянуто в лекції 18, це дійсно просто нагадування про позначення). Потім додаємо невеликі кубічні і квартичні члени. Ми представляємо аргумент Ландау, що - вище певної рушійної сили - поступове збільшення частоти водіння призводить до критичного значення до розривного падіння амплітуди відповіді, а потім використовуйте аплет для підтвердження та кількісної оцінки його результату.