22.5: Нелінійний випадок - аналіз Ландау

Рівняння руху таке:

\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=(f / m) \cos \gamma t-\beta x^{3}\]

Раніше встановлено, що нелінійний квартичний термін вносить корекцію до частоти генератора, яка залежить від амплітуди\(b\):

\[\omega=\omega_{0}+\frac{3 \beta b^{2}}{8 \omega_{0}}=\omega_{0}+\kappa b^{2}\]

в позначенні Ландау\(\kappa=3 \beta / 8 \omega_{0}\),

Рівняння для амплітуди в лінійному випадку (з попереднього розділу) становило, з\(\varepsilon=\gamma-\omega_{0}\),

\[b^{2}\left(\varepsilon^{2}+\lambda^{2}\right)=\frac{f^{2}}{4 m^{2} \omega_{0}^{2}}\]

Для нелінійного випадку максимальна амплітуда явно буде істинна (залежна від амплітуди!) резонансна частота\(\omega(b)=\omega_{0}+\kappa b^{2} \text { so with } \varepsilon=\gamma-\omega_{0}\) раніше, тепер у нас є кубічне рівняння для\(b^{2}\):

\[b^{2}\left(\left(\varepsilon-\kappa b^{2}\right)^{2}+\lambda^{2}\right)=\frac{f^{2}}{4 m^{2} \omega_{0}^{2}}\]

Зверніть увагу, що для малої рушійної сили\(f \ll 2 m \omega_{0} \lambda, b\) невелика (\(b_{\max }^{2} \approx f^{2} / 4 m^{2} \omega_{0}^{2} \lambda^{2}\)) але центр піку змістився трохи вгору, до\(\varepsilon=\kappa b^{2}, \text { that is, at a driving frequency } \gamma=\omega_{0}+\kappa b^{2}\). Кубічне рівняння для\(b^{2}\) має лише одне дійсне рішення.

Однак у міру збільшення рушійної сили змінюються коефіцієнти кубічного рівняння і при критичній силі з'являються ще\(f_{k}\) два реальних кореня.

\(\text { The } b, \varepsilon \text { curve for driving force above } f_{k} \text { looks like: }\)

Так що тут відбувається? Для діапазону частот, включаючи вертикальну пунктирну червону лінію на малюнку, з'являються три можливі амплітуди стійких коливань на одній частоті. Однак виходить, що середня нестабільна, тому буде експоненціально відхилятися, переходячи на один з двох інших, обидва з яких стабільні.

Якщо генератор приводиться в рух\(\omega_{0}\), а частота руху поступово збільшується, амплітуда буде слідувати за верхньою кривою до точки С, а потім різко падати до нижньої кривої. Подальше збільшення частоти (з тією ж силою рушійної сили, звичайно) дасть зменшувальну амплітуду коливань так само, як це відбувається для звичайного простого гармонічного осцилятора при відході від резонансної частоти.

Якщо частота тепер поступово знижується, амплітуда поступово збільшиться до точки D, де вона буде стрибати розривно до верхньої кривої. Загальний відгук на керуючу частоту іноді називають гістерезисом, за аналогією з відгуком магнітного матеріалу на мінливе нав'язане зовнішнє поле.

\(\begin{aligned}&\text { To put in some numbers, the maximum amplitude for any of these curves is when } \quad d b / d \varepsilon=0, \text { that is, }\\&\text { at } \varepsilon=\kappa b^{2}, \text { or }\end{aligned}\)

\[b_{\max }=f / 2 m \omega_{0} \lambda\]

той же результат, що і при малих коливаннях.

Щоб знайти критичне значення рушійної сили, для якої з'являються множинні рішення, на графіку вище це коли C, D збігаються. Тобто\(d b / d \varepsilon=\infty\) має збігаються коріння.

Диференціювання рівняння\(b(\varepsilon)\) для амплітуди як функції частоти (і звичайно це при постійній рушійній силі\(f\))

\[\frac{d b}{d \varepsilon}=-\frac{-\varepsilon b+\kappa b^{2}}{\varepsilon^{2}+\lambda^{2}-4 \kappa \varepsilon b^{2}+3 \kappa^{2} b^{4}}\]

C, D збігаються, коли дискримінант в знаменнику квадратичного дорівнює нулю, тобто при\(\kappa^{2} b^{4}=\lambda^{2}\) де\(\varepsilon=2 \kappa b^{2}\)

Вставляючи ці значення в рівняння для\(b(\varepsilon)\) як функції рушійної сили f, критична рушійна сила дорівнює

\[f_{\kappa}^{2}=\frac{8 m^{2} \omega_{0}^{2} \lambda^{3}}{|\kappa|}\]

Числові результати аплету

Наведені вище результати взяті з книги Ландау і напівкількісні. Їх можна легко перевірити за допомогою нашого онлайн-аплету, який є точним до одного відсотка або краще. Криві нижче побудовані з результатів аплетів і, безумовно, демонструють поведінку, передбачену Ландау.

Ці змови призначені для\(\omega_{0}^{2}=m=\beta=1, \alpha=0,2 \lambda=0.34\)

\ (\ begin {вирівняний} &\ text {Для цих значень} f_ {k}\ text {приблизно} 0.3. \ text {Наш виглядає трохи більше. Примітка для} f=0.3,\ text {ми показуємо}\\
&\ kappa b^ {2} =0.38\ cdot (0.75) ^ {2} =0.21,\ text {близько до піку графіка.}\ end {вирівняний}\)