22.4: Демпфірована Driven нелінійний осцилятор- Якісне обговорення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75560

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Тепер ми додаємо до затухаючого керованого лінійного осцилятора позитивний квартичний потенціал, даючи рівняння руху.

\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=(f / m) \cos \gamma t-\beta x^{3}\]

Як згадувалося вище, для частинки, що коливається в цьому\(\frac{1}{2} \omega_{0}^{2} x^{2}+\frac{1}{4} \beta x^{4}\) потенціалі, частота збільшується з амплітудою: більші коливання стикаються з потенціалом стає сильнішим і сильнішим, ніж простий гармонічний генератор.

Отже, якщо ми керуємо осцилятором від спокою на частоті, яка резонує з його малими амплітудними коливаннями (де\(\frac{1}{4} \beta x^{4}\) потенційний термін має незначний ефект), як амплітуда накопичується, частота генератора збільшується, і рушійна сила випадає з синхронізації.

Спосіб зберегти збільшення амплітуди, очевидно, полягає в тому, щоб поступово збільшувати частоту рушійної сили, щоб відповідати власній частоті при збільшеній амплітуді. (Примітка: це принцип синхроніциклотрона, за винятком того, що в цьому випадку частота знижується зі збільшенням енергії, оскільки частинки переходять на більші та більші орбіти, оскільки їх маси зростають релятивістично.) Таким чином невелика зовнішня рушійна сила (достатня для подолання фрикційного демпфування) може підтримувати коливання великої амплітуди на частоті, значно вище\(\omega_{0}\) частоти малих коливань.

Але що робити, якщо ми застосуємо цю високу частоту до системи спочатку в стані спокою, а не поступово нарощуючи синхронно з коливаннями? Тоді для невеликої рушійної сили ми можемо розглядати систему як затухаючий простий гармонічний генератор, і ця позарезонансна сила буде керувати відносно невеликими амплітудними коливаннями.

Суть полягає в тому, що для тієї ж зовнішньої рушійної сили, з частотою в деякому діапазоні вище\(\omega_{0}\), можуть бути дві можливі амплітуди коливань сталого стану, залежно від історії системи.