22.2: Частота коливань частинки є трохи ангармонічним потенціалом

Див. аплет, що ілюструє цей розділ.

Ландау (пункт 28) розглядає простий гармонічний генератор з доданими малими потенційними енергетичними термінами\(\frac{1}{3} m \alpha x^{3}+\frac{1}{4} m \beta x^{4}\). У провідних замовленнях ці терміни вносять свій внесок окремо, причому по-різному, тому простіше ставитися до них по одному. Спочатку розглянемо квартичний член, рівняння руху

\[\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=-\beta x^{3}\]

(Ми завжди будемо приймати\(\beta\) позитив)

Написання розширення теорії збурень (після Ландау):

\[x=x^{(1)}+x^{(2)}+\cdots\]

(Стандартна практика в більшості книг полягала б у написанні\(x=x^{(0)}+x^{(1)}+\ldots\) з верхнім індексом із зазначенням порядку збурення—ми слідуємо позначенню Ландау, сподіваємось, зменшуючи плутанину...) Ми приймаємо як провідний термін

\[x^{(1)}=a \cos \omega t\]

з точним значенням\(\omega, \omega=\omega_{0}+\Delta \omega\). Звичайно, ми ще не знаємо цінності\(\omega\) - це те, що ми намагаємося знайти!

І, як зазначає Ландау, ви не можете просто писати,\(\cos \left(\omega_{0}+\Delta \omega\right) t=\cos \omega_{0} t-(\Delta \omega) t \omega_{0} \sin \omega_{0} t\) тому що це означає, що рух збільшується в часі, а наша система - це частинка, що коливається у фіксованому потенціалі, без енергопостачання. Крім того, навіть якби ми якось мали значення\(\omega\) точно правильно, цей вираз не було б повним рішенням рівняння: рух, безумовно, періодичний з періодом\(2 \pi / \omega\), але повний опис руху - це ряд Фур'є, включаючи частоти n\(\omega\), n ціле число, так як потенціал вже не простий гармоніки.

У будь-якому випадку, введення цієї правильної частоти в рівняння руху\(\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=-\beta x^{3}\) дає ненульову ліву сторону, тому ми переставляємо. Віднімаємо\(\left(1-\left(\omega_{0}^{2} / \omega^{2}\right)\right) \ddot{x}\) з обох сторін, щоб отримати:

\[\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}} \ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=-\beta x^{3}-\left(1-\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}\right) \ddot{x}\]

Тепер, поклавши провідний термін\(x^{(1)}=a \cos \omega t\) в ліву сторону, дає нуль: якби рівняння було нуль на правій стороні, це було б просто вільний (не затухає) генератор з власною частотою\(\omega\) не\(\omega_{o}\). Це виглядає не дуже перспективно, але продовжуйте читати.

Рівняння для корекції першого\(x^{(2)}\) порядку:

\[\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}} \ddot{x}^{(2)}+\omega_{0}^{2} x^{(2)}=-\beta\left(x^{(1)}\right)^{3}-\left(1-\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}\right) \ddot{x}^{(1)}\]

Зверніть увагу, що другий термін на правій стороні включає в себе\(\ddot{x}^{(1)}=-\omega^{2} a \cos \omega t\) .Це рівняння тепер являє собою рушійну силу на незгасаному осциляторі точно на його резонансній частоті, тому може призвести до лінійного збільшення амплітуди, очевидно, нефізичний результат, так як ми просто моделювання частинки ковзання назад і вперед в потенціалі, без енергії, що надходить ззовні!

Ключовим є те, що в перший термін також є резонансний драйвер\(-\beta\left(x^{(1)}\right)^{3}\).

Зрозуміло, що ці два умови водіння повинні скасувати, і ця вимога цвяхи\(\Delta \omega\): ось як:

\[-\beta\left(x^{(1)}\right)^{3}=-\beta a^{3} \cos ^{3} \omega t=-\beta a^{3}\left(\frac{3}{4} \cos \omega t+\frac{1}{4} \cos 3 \omega t\right)\]

тому резонансні умови водіння скасовуються за умови

\[-\beta a^{3} \frac{3}{4} \cos \omega t-\left(1-\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}\right)\left(-\omega^{2} a \cos \omega t\right)=0\]

Пам'ятаючи\(\omega=\omega_{0}+\Delta \omega\), це дає (до цього наказу)

\[\Delta \omega=\frac{3 \beta a^{2}}{8 \omega_{0}}\]

(Строго,\(\omega_{0}+\frac{1}{2} \Delta \omega\) в знаменнику, але це виправлення вищого порядку.)

Зверніть увагу, що частота збільшується з амплітудою:\(x^{4}\) потенціал дає все більш сильну відновлювальну силу з амплітудою, ніж гармонічна яма. Перевірити це можна за допомогою аплету. Тепер розглянемо рівняння для невеликого кубічного збурень,

\[\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=-\alpha x^{2}\]

Це являє собою додатковий потенціал\(-\frac{1}{3} \alpha x^{3}\), який є непарною функцією, тому для провідного порядку він не змінить період, прискорюючи одну половину коливань і сповільнюючи іншу половину тієї ж суми в провідному порядку. Перша корекція положення як функція часу - це рішення

\[\ddot{x}^{(2)}+\omega_{0}^{2} x^{(2)}=-\alpha a^{2} \cos ^{2} \omega t=-\frac{1}{2} \alpha a^{2}-\frac{1}{2} \alpha a^{2} \cos 2 \omega t\]

Рішення є

\[x^{(2)}=-\frac{\alpha a^{2}}{2 \omega_{0}^{2}}+\frac{\alpha a^{2}}{6 \omega_{0}^{2}} \cos 2 \omega t\]

Фізично, додаючи це до провідного терміну, частка проводить більше свого часу в більш м'якій половині потенціалу, даючи амплітудно-залежну корекцію своєму середньому положенні.

Щоб отримати корекцію до частоти, нам потрібно перейти до наступного замовлення,\[\omega=\omega_{0}+\omega^{(2)}\]. Відкидаючи терміни вищого порядку, рівняння руху для наступної корекції

\[\ddot{x}^{(3)}+\omega_{0}^{2} x^{(3)}=-2 \alpha x^{(1)} x^{(2)}+2 \omega_{0} \omega^{(2)} x^{(1)}\]

і з\[x=x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}, \omega=\omega_{0}+\omega^{(2)}\], слідуючи Ландау,

\[\ddot{x}^{(3)}+\omega_{0}^{2} x^{(3)}=-\frac{\alpha^{2} a^{3}}{6 \omega_{0}^{2}} \cos 3 \omega t+a\left[2 \omega_{0} \omega^{(2)}+\frac{5 a^{2} \alpha^{2}}{6 \omega_{0}^{2}}\right] \cos \omega t\]

Знову ж таки, не може бути ненульовий термін, який рухає систему в резонансі, тому кількість у квадратних дужках повинна бути нульовою, це дає нам\(\Delta \omega=\omega^{(2)}=-5 a^{2} \alpha^{2} / 12 \omega_{0}^{3}\)

Таким чином, загальна корекція частоти до провідного порядку для додаткових малих потенціалів\[\frac{1}{3} m \alpha x^{3}+\frac{1}{4} m \beta x^{4}\] є (вони додають незалежно до цього порядку)

\[\Delta \omega=\left(\frac{3 \beta}{8 \omega_{0}}-\frac{5 \alpha^{2}}{12 \omega_{0}^{3}}\right) a^{2}=\kappa a^{2}\]

(\(\kappa\)тут зручне позначення Ландау використовує пізніше).

Наскільки хороші ці наближення?

У нас є аплет, який вирішує це рівняння чисельно, так що це просто перевірити.

Починаючи з потенціалу квартичного збурень\(\frac{1}{4} m \beta x^{4}\), Ландау знаходить корекцію частоти\(\Delta \omega=3 \beta a^{2} / 8 \omega_{0}\). Беручи досить велике збурення,\(a=\beta=\omega_{0}=1\) ми знаходимо з аплету, що\(\Delta \omega=0.33\) тоді як теорія збурень Ландау прогнозує\(\Delta \omega=\frac{3}{8}=0.375\). Однак, якщо ми виправимо знаменник Ландау (як уже згадувалося вище, він вказував, що це повинно бути\(\omega\), але сказав, що це другий порядок), помилка дуже мала.

Беручи\(\alpha=0.3\)\(\beta=0.1\)\(\omega_{0}=0\),,\(a=1\) формула дає\(\Delta \omega=0.018\) так менше двох відсотків похибки,
а для амплітуди 0,2 зусилля менше 0,1%.

Ознайомтеся з аплетом тут.