Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

19.4: Пошук власних векторів

  • Page ID
    75725
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тепер давайте подивимося на власні вектори, ми почнемо з тих\(P\) з.Давайте називати власне значення\(\lambda\)

    Тоді для власного стану оператора зсуву зміщений вектор повинен бути кратний вихідному вектору:

    \ begin {рівняння}\ лівий (\ begin {масив} {cccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ кінець {масив}\ вправо)\ ліворуч (\ begin {масив} {c} A_ {1}\ A_ {2}\ A_ {3}\ A_ {3}\ A_ 4}\ end {масив}\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {c} A_ {2}\ A_ {3}\ A_ {4}\\ A_ {1}\ end {масив}\ праворуч) =\ лямбда\ ліворуч (\ begin {масив} {c} A_ {1}\\ A_ {2}\\ A_ {3}\\
    A_ {4}\ end {масив}\ праворуч)\ end {рівняння}

    Зчитування елемента за еквівалентністю елементів двох векторів,

    \ begin {рівняння}
    A_ {2} =\ лямбда A_ {1},\ квад A_ {3} =\ лямбда A_ {2},\ квадрад A_ {4} =\ лямбда A_ {3},\ quad A_ {1} =\ лямбда A_ {4}
    \ кінець {рівняння}

    Перші три рівності говорять нам, що власнийвектор має вигляд\(\left(1, \lambda, \lambda^{2}, \lambda^{3}\right)^{T}\), останній говорить нам про це\(\lambda^{4}=1\).

    З нашого попереднього обговорення циркулянтних матриць, написання найменшого\(N^{\text {th }}\) фазового нетривіального кореня єдності\(\omega=e^{2 \pi i / N}\), як, коріння рівняння\(\lambda^{N}=1\) - це лише цей основний корінь, піднятий до N різних ступенів: коріння \(1, \omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \ldots, \omega^{N-1}\)

    Це встановлює, що власні вектори\(P\) мають вигляд

    \ почати {рівняння}
    \ лівий (1,\ омега^ {j},\ лівий (\ омега^ {j}\ праворуч) ^ {2},\ лівий (\ омега^ {j}\ праворуч) ^ {3},\ ldots,\ ліворуч (\ омега^ {j}\ праворуч) ^ {N-1}\ праворуч) ^ {T}
    \ кінець {рівняння}

    де\(j=0,1,2,3, \ldots, N-1\) з відповідним власним значенням основний корінь піднімається до\(j^{\text {th }} \text { power, } \omega^{j}=e^{2 \pi i j / N}\). Спробуйте його для 3 × 3: власні значення задаються

    \ begin {рівняння}
    \ left|\ begin {масив} {ccc}
    -\ лямбда & 1 &
    0\\ 0 & -\ лямбда &
    1\\ 1 & 0 & -
    \ лямбда\ кінець {масив}\ right|=0,\ квад\ лямбда {3} =1,\ омега,\ омега^ {2};\ quad\ omega^ {3} =1
    \ кінець {рівняння}

    Виявлено, що відповідні власні вектори

    \ begin {рівняння}
    \ лівий (\ begin {масив} {l}

    1\
    1\ 1
    \ кінець {масив}\ праворуч),\ квадратний\ лівий (\ begin {масив} {c}
    1\
    \ омега\
    \ омега^ {2}
    \ кінець {масив}\ праворуч),\ quad\ left (\ begin {масив} {c}
    1\\
    \ омега^ {2}\\ омега

    \ кінець {масив}\ праворуч)
    \ кінець {рівняння}

    Для\(N×N\) випадку існують\(N\) різні, лінійно незалежні, вектори цієї форми, так що це повний набір власних векторів\(P\).

    Вони також, звичайно, є власними векторами\ (\ begin {рівняння}
    P^ {2}, P^ {3}\ text {all} N-1\ text {powers of} P
    \ end {рівняння}\) і, отже, всіх циркулянтних матриць! Це означає, що всі\(N×N\) циркулянтні матриці комутують.