19.4: Пошук власних векторів

Тепер давайте подивимося на власні вектори, ми почнемо з тих$P$ з.Давайте називати власне значення$\lambda$

Тоді для власного стану оператора зсуву зміщений вектор повинен бути кратний вихідному вектору:

\ begin {рівняння}\ лівий (\ begin {масив} {cccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ кінець {масив}\ вправо)\ ліворуч (\ begin {масив} {c} A_ {1}\ A_ {2}\ A_ {3}\ A_ {3}\ A_ 4}\ end {масив}\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {c} A_ {2}\ A_ {3}\ A_ {4}\\ A_ {1}\ end {масив}\ праворуч) =\ лямбда\ ліворуч (\ begin {масив} {c} A_ {1}\\ A_ {2}\\ A_ {3}\\
A_ {4}\ end {масив}\ праворуч)\ end {рівняння}

Зчитування елемента за еквівалентністю елементів двох векторів,

\ begin {рівняння}
A_ {2} =\ лямбда A_ {1},\ квад A_ {3} =\ лямбда A_ {2},\ квадрад A_ {4} =\ лямбда A_ {3},\ quad A_ {1} =\ лямбда A_ {4}
\ кінець {рівняння}

Перші три рівності говорять нам, що власнийвектор має вигляд$\left(1, \lambda, \lambda^{2}, \lambda^{3}\right)^{T}$, останній говорить нам про це$\lambda^{4}=1$.

З нашого попереднього обговорення циркулянтних матриць, написання найменшого$N^{\text {th }}$ фазового нетривіального кореня єдності$\omega=e^{2 \pi i / N}$, як, коріння рівняння$\lambda^{N}=1$ - це лише цей основний корінь, піднятий до N різних ступенів: коріння $1, \omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \ldots, \omega^{N-1}$

Це встановлює, що власні вектори$P$ мають вигляд

\ почати {рівняння}
\ лівий (1,\ омега^ {j},\ лівий (\ омега^ {j}\ праворуч) ^ {2},\ лівий (\ омега^ {j}\ праворуч) ^ {3},\ ldots,\ ліворуч (\ омега^ {j}\ праворуч) ^ {N-1}\ праворуч) ^ {T}
\ кінець {рівняння}

де$j=0,1,2,3, \ldots, N-1$ з відповідним власним значенням основний корінь піднімається до$j^{\text {th }} \text { power, } \omega^{j}=e^{2 \pi i j / N}$. Спробуйте його для 3 × 3: власні значення задаються

\ begin {рівняння}
\ left|\ begin {масив} {ccc}
-\ лямбда & 1 &
0\\ 0 & -\ лямбда &
1\\ 1 & 0 & -
\ лямбда\ кінець {масив}\ right|=0,\ квад\ лямбда {3} =1,\ омега,\ омега^ {2};\ quad\ omega^ {3} =1
\ кінець {рівняння}

Виявлено, що відповідні власні вектори

\ begin {рівняння}
\ лівий (\ begin {масив} {l}

1\
1\ 1
\ кінець {масив}\ праворуч),\ квадратний\ лівий (\ begin {масив} {c}
1\
\ омега\
\ омега^ {2}
\ кінець {масив}\ праворуч),\ quad\ left (\ begin {масив} {c}
1\\
\ омега^ {2}\\ омега

\ кінець {масив}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

Для$N×N$ випадку існують$N$ різні, лінійно незалежні, вектори цієї форми, так що це повний набір власних векторів$P$.

Вони також, звичайно, є власними векторами\ (\ begin {рівняння}
P^ {2}, P^ {3}\ text {all} N-1\ text {powers of} P
\ end {рівняння}\) і, отже, всіх циркулянтних матриць! Це означає, що всі$N×N$ циркулянтні матриці комутують.