19.6: Дозволені хвильові числа з граничних умов
- Page ID
- 75708
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Звичайний спосіб представлення хвилі на лінії у фізиці полягає в тому, щоб мати зміщення\(e^{i k x}\), пропорційне, і\(k\) називається хвильовим числом. Для нашої дискретизованої системи параметр зміщення\(n^{\text {th }}\) атома, у положенні na, таким чином, буде пропорційним\(e^{i k n a}\).
Але ми знаємо, що це власний вектор циркулянта, тому ми повинні мати\(e^{i N k a}=1\), і\(k\) дозволені значення є
\[k_{n}=\frac{2 \pi}{N a} n=\frac{2 \pi}{L} n\]
з\(n\) цілим числом.
Циркулянтна структура матриці визначила власні вектори, але не власні значення.\(\omega_{n}\)