Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

19.5: Власні вектори лінійного ланцюга

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75746

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Повернемося до нашого ланцюга, з власною функцією рівняння руху\(N\) розмірного еквівалента

    \ begin {рівняння}
    -м\ Омега^ {2}\ зліва (\ begin {масив} {c}
    A_ {1}\
    A_ {2}\
    A_ {3}\\
    A_ {4}
    \ end {масив}\ справа) =\ left (\ begin {масив} {cccc}
    -2\ kappa & 0 &\ kappa\\ kappa\
    \ kappa а & -2 \ каппа &\ каппа & 0\\ 0 &\\
    каппа & -2\ каппа &\\ каппа\\ каппа & 0 &
    \ каппа & -2\ каппа\ кінець {масив}\ праворуч)
    \ лівий (\ begin {масив} {c} A_ {1}\
    A_ {2}\
    A_ {3}\ A_ {3}\
    A_ {3}\
    A_ {4}
    \ end {масив}\ праворуч)
    \ end {рівняння}

    . Ми бачимо, що матриця є циркулянтом, тому ми знаємо, що власні вектори мають форму.

    \ почати {рівняння}
    \ лівий (1,\ омега^ {j},\ лівий (\ омега^ {j}\ праворуч) ^ {2},\ лівий (\ омега^ {j}\ праворуч) ^ {3},\ ldots,\ ліворуч (\ омега^ {j}\ праворуч) ^ {N-1}\ праворуч) ^ {T}
    \ кінець {рівняння}

    , яку ми зараз напишемо

    \ begin {рівняння}
    \ лівий (1, e^ {2\ pi i j/N}, e^ {2\ pi i 2 j/N}, e^ {2\ pi i 3 j/N},\ ldots, e^ {2\ pi i j (N-1)/N}\ праворуч)
    \ кінець {рівняння}

    Що це означає для нашої ланцюгової системи? Пам'ятайте, що\(n^{\mathrm{th}}\) елемент власноговектора являє собою зміщення\(n^{\mathrm{th}}\) атома ланцюга з його положення рівноваги, що було б пропорційно\(e^{2 \pi i j n / N}\)

    Стійка прогресія фази при обході ланцюга\(n=0,1,2,3, \ldots\) дає зрозуміти, що це по суті (поздовжня) хвиля. (Фактичний зміщення\(n^{\mathrm{th}}\) частинок є реальною частиною\(n^{\mathrm{th}}\) елемента, але може бути загальний складний фактор, що фіксує фазу.)