19.7: Пошук власних значень

власні значення знаходять, оперуючи власним вектором, який ми щойно знайшли з матрицею, що означає\(N\) розмірне узагальнення

\ begin {рівняння}
-м\ Омега^ {2}\ зліва (\ begin {масив} {c}
1\
e^ {i k_ {n} a}\
e^ {i k_ {n} 2 a}\
e^ {i k_ {n} 3 a}
\ end {масив}\ праворуч) =\ left (\ почати {масив} {cccc}
-2\ kappa &\ каппа & 0 &\\ каппа\\
\ каппа & -2\ каппа &\\ каппа & 0\\
0 &\\ каппа & -2\ каппа &\\ каппа\\ каппа & 0 &
\ каппа & -2\ kappa\ end {масив}
\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив} {c} {c}
1\
e^ {i k_ {n} a}\
e^ {i k_ {n} 2 a}\\
e^ {i k_ {n} 3 a}
\ end {масив}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Застосування матриці до вектора стовпця

\ begin {рівняння}
\ лівий (1, e^ {i k_ {n} a}, e^ {2 i k_ {n} a}, e^ {3 i k_ {n} a},\ ldots, e^ {i (N-1) k_ {n} a}\ праворуч) ^ {T}
\ кінець {рівняння}

, і скасовуючи загальний\(e^{i k_{n} n a}\) фактор, ми маємо

\ begin {рівняння}
-м\ Омега_ {n} ^ {2} =\ каппа\ ліворуч (e^ {i k_ {n} a} +e^ {-i k_ {n} a} -2\ праворуч)
\ end {рівняння}

(Звичайно, цей самий результат виходить з кожного ряду.)

Повний набір власних значень задається вставкою в вищевказаний вираз

\ begin {рівняння}
k_ {n} =2\ pi n/N a,\ quad n=0,1,2,\ ldots, N-1\ текст {так} e^ {i k_ {n} a} =e^ {2\ pi i n/N}
\ end {рівняння}

так\(n=0\) відбувається зміщення системи в цілому, як є\(n=N\).

Значення Wavenumber\(k_{n} \text { beyond } n=N\) повторюють власні стани, які ми вже маємо, оскільки

\ begin {рівняння}
e^ {i k_ {n+n} a} =e^ {i\ frac {2\ пі (N+n) a} {N a}} =e^ {2\ pi i i} e^ {2\ pi i n/N} =e^ {i k_ {n} a
\ кінець {рівняння}

k обмежені

\ begin {рівняння}
\ Омега_ {n} =2\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}\ sin\ лівий (\ frac {k_ {n} a} {2}\ праворуч) =2\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}\ sin\ лівий (\ frac {n\ pi} {N}\ правий)
\ кінець рівняння}

\ begin {рівняння}
0\ leq k<2\ pi/a
\ end {рівняння}

або еквівалентно

\ begin {рівняння}
-\ pi/a<k\ leq\ pi/a
\ end {рівняння}

Рівняння власних значень

\ begin {рівняння}
\ Омега_ {n} ^ {2} =2 (\ каппа/ м)\ лівий (1-\ cos k_ {n} a\ правий)
\ кінець {рівняння}

або

\ begin {рівняння}
\ Омега_ {n} =2\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}\ sin\ лівий (\ frac {k_ {n} a} {2}\ праворуч) =2\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}\ sin\ лівий (\ frac {n\ pi} {N}\ правий)
\ кінець рівняння}

Побачити динаміку цього власногостану

\ begin {рівняння}
\ лівий (1, e^ {i k_ {n} a}, e^ {2 i k_ {n} a}, e^ {3 i k_ {n} a},\ ldots, e^ {i k_ {n} (N-1) a}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

, Нам потрібно помножити на часову залежність\(e^{i \Omega_{n} t}\), потім остаточно взяти реальну частину рішення:

\ почати {рівняння}
\ лівий (\ cos\ Омега_ {n} т,\ квад\ cos\ лівий (k_ {n} a+\ Омега_ {n} т\ вправо),\ квад\ cos\ лівий (2 k_ {n} a+\ Омега_ {n} т\ вправо),\ квад\ cos\ лівий (3 k_ {n} a+\ Omega_ {n} t\ праворуч),\ ldots,\ cos\ ліворуч ((N-1) k_ {n} a+\ Omega_ {n} t\ праворуч)
\ end {рівняння}

Зверніть увагу, що в межі континууму, що означає великий N і малий a, зміщення атома як функція положення має вигляд, іншими\(\cos (k x+\Omega t)\) словами, ми дивимося на синусоїдальну хвилю збудження з wavenumber\(k_{n}\) тут.

Тепер\(-k_{n}\) це також рішення, але це те саме, що потрібно бути обережним, щоб не перерахувати.\(n^{\prime}=N-n\) Дві частоти\(\pm \Omega_{n}\) відповідають хвилям, що йдуть в протилежних напрямках.