Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

19.3: Порівняння з операторами підвищення

  • Page ID
    75726
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Власне, ці матриці пов'язані з оператором підняття та опускання для кутового моменту (і простих гармонічних осциляторів) у квантовій механіці. Наприклад,\(4 \times 4\) матриці були б для спина 3/2, з чотирма\(S_{z}\) власними станами.

    Квантово-механічні матриці підняття і опускання виглядають як

    \ begin {рівняння}
    \ left (\ begin {масив} {llll}
    0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &
    0 & 0 & 0 & 0 & 1\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0
    \ кінець {масив}\ праворуч),\ quad\ left (\ begin {масив} {llll}
    0 & 0 & 0\\
    1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &
    0 & 0\ 0 & 0\
    0 & 1 & 0 & 0
    \ end {масив}\ праворуч)
    \ кінець {рівняння}

    Вони переміщують спіновий\(S_{z}\) компонент вгору (і вниз) на одну виїмку, за винятком того, що при застосуванні оператора підняття верхній стан\(S_{z}=3 / 2\) знищується, аналогічно оператору опускання на нижній стан.

    Наші кругові узагальнення мають один додатковий елемент:

    \ begin {рівняння}
    \ лівий (\ begin {масив} {llll}
    0 & 1 & 0\
    0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1\
    1 & 0 & 0 & 0 & 0
    \ кінець {масив}\ вправо),\ quad\ ліворуч (\ begin {масив} {llll}
    0 & 0 & 0 & 1\\
    1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &
    0 & 0 & 0\ 0 &
    0 & 1 & 0 & 0
    \ end {масив}\ праворуч)
    \ кінець {рівняння}

    Це робить матриці циркулюючими, і надає їм властивість «переробки»: верхній елемент не викидається, він просто йде в нижню частину купи.

    (І майте на увазі, що стандартні позначення для вектора має найнижчий індекс (0 або 1) для верхнього елемента, тому, коли ми згинаємо сходи в коло, оператор «підняття» фактично рухається до наступного нижнього числа, іншими словами, це зрушення вліво.)

    Ми візьмемо цей оператор зсуву P як нашу основну матрицю:

    \ begin {рівняння}
    P=\ ліво (\ begin {масив} {llll}
    0 & 1 & 0\
    0 & 0 & 0 & 0\ 0 &
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\
    1 & 0 & 0 & 0 & 0
    \ end {масив}\ праворуч),\ текст {з якого} P^ {2} =\ left (\ begin {масив} {llll}
    0 & 0 & 1 & 0\ 0 &
    0 & 0 & 0 & 1\\
    1 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 &
    0 & 0 & 0 & 0
    \ end {масив}\ праворуч)
    \ кінець {рівняння}

    З цього повинно бути видно, що циркулянтна матриця, що має верхній ряд\(c_{0}, c_{1}, c_{2}, c_{3}\), є лише матрицею\(c_{0} I+c_{1} P+c_{2} P^{2}+c_{3} P^{3}\).

    Це тривіально узагальнюється до\(N \times N\) матриць.