19.3: Порівняння з операторами підвищення
- Page ID
- 75726
Власне, ці матриці пов'язані з оператором підняття та опускання для кутового моменту (і простих гармонічних осциляторів) у квантовій механіці. Наприклад,\(4 \times 4\) матриці були б для спина 3/2, з чотирма\(S_{z}\) власними станами.
Квантово-механічні матриці підняття і опускання виглядають як
\ begin {рівняння}
\ left (\ begin {масив} {llll}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 1\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\ кінець {масив}\ праворуч),\ quad\ left (\ begin {масив} {llll}
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &
0 & 0\ 0 & 0\
0 & 1 & 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}
Вони переміщують спіновий\(S_{z}\) компонент вгору (і вниз) на одну виїмку, за винятком того, що при застосуванні оператора підняття верхній стан\(S_{z}=3 / 2\) знищується, аналогічно оператору опускання на нижній стан.
Наші кругові узагальнення мають один додатковий елемент:
\ begin {рівняння}
\ лівий (\ begin {масив} {llll}
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\
1 & 0 & 0 & 0 & 0
\ кінець {масив}\ вправо),\ quad\ ліворуч (\ begin {масив} {llll}
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &
0 & 0 & 0\ 0 &
0 & 1 & 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}
Це робить матриці циркулюючими, і надає їм властивість «переробки»: верхній елемент не викидається, він просто йде в нижню частину купи.
(І майте на увазі, що стандартні позначення для вектора має найнижчий індекс (0 або 1) для верхнього елемента, тому, коли ми згинаємо сходи в коло, оператор «підняття» фактично рухається до наступного нижнього числа, іншими словами, це зрушення вліво.)
Ми візьмемо цей оператор зсуву P як нашу основну матрицю:
\ begin {рівняння}
P=\ ліво (\ begin {масив} {llll}
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 0 & 0\ 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\
1 & 0 & 0 & 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч),\ текст {з якого} P^ {2} =\ left (\ begin {масив} {llll}
0 & 0 & 1 & 0\ 0 &
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 &
0 & 0 & 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}
З цього повинно бути видно, що циркулянтна матриця, що має верхній ряд\(c_{0}, c_{1}, c_{2}, c_{3}\), є лише матрицею\(c_{0} I+c_{1} P+c_{2} P^{2}+c_{3} P^{3}\).
Це тривіально узагальнюється до\(N \times N\) матриць.