19.1: Модель

Позначення! У цій лекції я використовую$\kappa$ для постійної пружини ($k$є хвильовим числом) і$\Omega$ для частоти ($\omega$є коренем одиниці).

Хороша класична модель для кристала - представляти атоми кульками, утримуваними на місці світловими пружинами, що представляють валентні зв'язки, між найближчими сусідами. Найпростіший такий кристал, що володіє деякими реалістичними рисами, - це єдиний ланцюжок з'єднаних однакових атомів. Щоб зробити математику легкою, ми з'єднаємо кінці ланцюга, щоб зробити її колом. Це називається «накладення періодичних граничних умов». Це звичайна практика в теорії конденсованого середовища і мало впливає на фізику для великої системи.

Ми візьмемо решту позицій атомів, щоб бути рівномірно розташовані, один від одного, з першим атомом в a,$n^{\text {th }}$ атомом на na, кінцевим$N^{\text {th }}$ атомом на початку.

Далеко від найнижчого енергетичного стану ми позначаємо положення на$n^{\text {th }} \text { atom } n a+x_{n}$, так, як і в нашому попередньому обговоренні коливальних систем,$x_{n}$ є зміщення від рівноваги (яке ми приймаємо, щоб бути уздовж лінії—ми не розглядаємо поперечні режими вібрації в цей час).

Лагранж цієї кругової ланцюгової системи є:

$$L=\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2} m \dot{x}_{n}^{2}-\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2} \kappa\left(x_{n+1}-x_{n}\right)^{2} \quad N+1 \equiv 1$$

Ми будемо називати постійну пружину$\kappa$, нам знадобиться$k$ щось інше. Ми також назвемо частоту$\Omega$

Шукаємо власні стани з частотою$\Omega$, знаходимо множину рівнянь

$$m \ddot{x}_{n}=-\kappa\left(2 x_{n}-x_{n-1}-x_{n+1}\right)$$

Беручи рішення$x_{n}=A_{n} e^{i \Omega t}$, з розумінням того, що$A_{n}$ може бути складним, і в кінці$x_{n}$ є лише реальною частиною формального рішення, ми знаходимо рівняння власних значень для ланцюга з чотирьох атомів (найбільший Mathtype може впоратися!)

\ begin {рівняння}
-м\ Омега^ {2}\ зліва (\ begin {масив} {c}
A_ {1}\
A_ {2}\
A_ {3}\\
A_ {4}\ end {масив}
\ справа) =\ left (\ begin {масив} {cccc}
-2\ kappa & 0 &\ kappa\\ kappa\\ kappa\
\ kappa а & -2 \ каппа &\ каппа & 0\\ 0 &\\
каппа & -2\ каппа &\\ каппа\\ каппа & 0 &
\ каппа & -2\ каппа\ кінець {масив}\ праворуч)
\ лівий (\ begin {масив} {c} A_ {1}\
A_ {2}\
A_ {3}\ A_ {3}\
A_ {3}\
A_ {4}
\ end {масив}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Насправді ми б мати набагато більшу матрицю, з великою кількістю нулів, але, сподіваюся, шаблон вже ясно:$-2 \kappa$ або кожен діагональний елемент і$\kappa$ в двох діагональних похилих ліній фланг головної діагоналі (відповідає зв'язкам між найближчими сусідами) і, нарешті$\kappa$, в двох далеко кути, які йдуть від пружинного з'єднання$N to 1$, щоб завершити коло.

Зверніть увагу спочатку, що якщо$\Omega=0$ є власнийвектор$(1,1,1,1)^{T}$, так як сума елементів в одному рядку дорівнює нулю (T означає транспонувати, тобто це дійсно вектор стовпця, але вектори рядків набагато легше вписуються в текст тут).

Цей власний вектор є лише рівномірним зміщенням всієї системи, що коштує нульової енергії, оскільки система не закріплена на певному місці на кільці. Ми припустимо, що система в цілому знаходиться в стані спокою, тобто центр маси нерухомий, а атоми мають чітко визначені позиції спокою, як на малюнку в$a, 2 a, 3 a, \ldots, N a, N a \equiv 0$