Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

19.1: Модель

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75762

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Позначення! У цій лекції я використовую\(\kappa\) для постійної пружини (\(k\)є хвильовим числом) і\(\Omega\) для частоти (\(\omega\)є коренем одиниці).

    Хороша класична модель для кристала - представляти атоми кульками, утримуваними на місці світловими пружинами, що представляють валентні зв'язки, між найближчими сусідами. Найпростіший такий кристал, що володіє деякими реалістичними рисами, - це єдиний ланцюжок з'єднаних однакових атомів. Щоб зробити математику легкою, ми з'єднаємо кінці ланцюга, щоб зробити її колом. Це називається «накладення періодичних граничних умов». Це звичайна практика в теорії конденсованого середовища і мало впливає на фізику для великої системи.

    clipboard_eb0bf55ada96b44d1706225e8d9737f64.png

    Ми візьмемо решту позицій атомів, щоб бути рівномірно розташовані, один від одного, з першим атомом в a,\(n^{\text {th }}\) атомом на na, кінцевим\(N^{\text {th }}\) атомом на початку.

    Далеко від найнижчого енергетичного стану ми позначаємо положення на\(n^{\text {th }} \text { atom } n a+x_{n}\), так, як і в нашому попередньому обговоренні коливальних систем,\(x_{n}\) є зміщення від рівноваги (яке ми приймаємо, щоб бути уздовж лінії—ми не розглядаємо поперечні режими вібрації в цей час).

    Лагранж цієї кругової ланцюгової системи є:

    \[L=\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2} m \dot{x}_{n}^{2}-\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2} \kappa\left(x_{n+1}-x_{n}\right)^{2} \quad N+1 \equiv 1\]

    Ми будемо називати постійну пружину\(\kappa\), нам знадобиться\(k\) щось інше. Ми також назвемо частоту\(\Omega\)

    Шукаємо власні стани з частотою\(\Omega\), знаходимо множину рівнянь

    \[m \ddot{x}_{n}=-\kappa\left(2 x_{n}-x_{n-1}-x_{n+1}\right)\]

    Беручи рішення\(x_{n}=A_{n} e^{i \Omega t}\), з розумінням того, що\(A_{n}\) може бути складним, і в кінці\(x_{n}\) є лише реальною частиною формального рішення, ми знаходимо рівняння власних значень для ланцюга з чотирьох атомів (найбільший Mathtype може впоратися!)

    \ begin {рівняння}
    -м\ Омега^ {2}\ зліва (\ begin {масив} {c}
    A_ {1}\
    A_ {2}\
    A_ {3}\\
    A_ {4}\ end {масив}
    \ справа) =\ left (\ begin {масив} {cccc}
    -2\ kappa & 0 &\ kappa\\ kappa\\ kappa\
    \ kappa а & -2 \ каппа &\ каппа & 0\\ 0 &\\
    каппа & -2\ каппа &\\ каппа\\ каппа & 0 &
    \ каппа & -2\ каппа\ кінець {масив}\ праворуч)
    \ лівий (\ begin {масив} {c} A_ {1}\
    A_ {2}\
    A_ {3}\ A_ {3}\
    A_ {3}\
    A_ {4}
    \ end {масив}\ праворуч)
    \ end {рівняння}

    Насправді ми б мати набагато більшу матрицю, з великою кількістю нулів, але, сподіваюся, шаблон вже ясно:\(-2 \kappa\) або кожен діагональний елемент і\(\kappa\) в двох діагональних похилих ліній фланг головної діагоналі (відповідає зв'язкам між найближчими сусідами) і, нарешті\(\kappa\), в двох далеко кути, які йдуть від пружинного з'єднання\(N to 1\), щоб завершити коло.

    Зверніть увагу спочатку, що якщо\(\Omega=0\) є власнийвектор\((1,1,1,1)^{T}\), так як сума елементів в одному рядку дорівнює нулю (T означає транспонувати, тобто це дійсно вектор стовпця, але вектори рядків набагато легше вписуються в текст тут).

    Цей власний вектор є лише рівномірним зміщенням всієї системи, що коштує нульової енергії, оскільки система не закріплена на певному місці на кільці. Ми припустимо, що система в цілому знаходиться в стані спокою, тобто центр маси нерухомий, а атоми мають чітко визначені позиції спокою, як на малюнку в\(a, 2 a, 3 a, \ldots, N a, N a \equiv 0\)