19.2: Циркулянтна матриця - природа її власних станів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75777

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Матриця, яку ми побудували вище, має дуже особливу властивість: кожен рядок ідентичний попередньому рядку з елементами, переміщеними на одне місце, тобто має вигляд

\ begin {рівняння}
\ зліва (\ почати {масив}
{llll} c_ {0} & c_ {1} & c_ {2} & c_ {3}\\
c_ {3} & c_ {0} & c_ {1}\ c_ {2}\
c_ {2} & c_ {3} & c_ {0} & c_ {1}\ c_ {1}\
c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} & c_ {0}
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Такі матриці називаються циркулянтами, і їх властивості добре відомі. Зокрема, ми покажемо, що власні вектори мають вигляд\(\left(1, \omega_{j}, \omega_{j}^{2}, \omega_{j}^{3}, \ldots, \omega_{j}^{N-1}\right)^{T}\) де\(\omega_{j}^{N}=1\).

Нагадаємо, корінням рівняння\(z^{N}=1\) є N точок, однаково розташованих навколо одиничного кола,\ begin {рівняння}
e^ {2\ pi i n/N}, n=0,1,2,\ ldots N-1
\ end {рівняння}

Стандартним математичним позначенням є позначення цих точок\ (\ begin {рівняння}
1,\ omega_ {1},\ omega_ {2},\ omega_ {3},\ ldots,\ omega_ {N-1}
\ end {рівняння}\), як показано на малюнку, але зауважте, що\(\omega_{j}=\omega_{1}^{j}\)