6.8: Рівняння Гамільтона
- Page ID
- 75263
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Остаточно встановивши, що ми можемо записати, для поступової зміни по динамічному шляху системи у фазовому просторі,
\[d H\left(q_{i}, p_{i}\right)=-\sum_{i} \dot{p}_{i} d q_{i}+\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}\]
маємо відразу так звану канонічну форму рівнянь руху Гамільтона:
\[\begin{align*} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} &=\dot{q}_{i} \\[4pt] \frac{\partial H}{\partial q_{i}} &=-\dot{p}_{i} \end{align*}\]
Очевидно, що перехід від простору станів до фазового простору замінив рівняння Ейлера-Лагранжа другого порядку цим еквівалентним набором пар рівнянь першого порядку.