Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.9: Простий приклад

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75247

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Для частинки, що рухається в потенціалі в одному вимірі,\ (\ begin {рівняння}
    L (q,\ dot {q}) =\ frac {1} {2} m\ dot {q} ^ {2} -V (q)
    \ end {рівняння}\).

    Звідси

    \ begin {рівняння}
    p=\ розрив {\ частковий L} {\ частковий\ точка {q}} =м\ точка {q},\ квад\ точка {q} =\ frac {p} {m}
    \ end {рівняння}

    Тому

    \ begin {рівняння}
    \ почати {масив} {c} Н
    = P\ точка {q} -L=P\ точка {q} -\ розрив {1} {2} м\ точка {q} ^ {2} +V (q)\\
    =\ frac {p^ {2}} {2 м} +V (q)
    \ кінець {масив}
    \ кінець {рівняння}

    (Звичайно, це всього лише загальна енергія, як ми очікуємо.)

    Гамільтонові рівняння руху

    \ begin {рівняння}
    \ початок {масив} {l}
    \ точка {q} =\ розрив {\ частковий H} {\ частковий р} =\ гідророзриву {p} {m}\
    \ точка {p} =-\ розрив {\ частковий H} {\ частковий q} =-V^ {\ прайм} (q)
    \ кінець {масив}
    \ кінець {рівняння}

    Отже, як ми вже говорили, рівняння руху Лагранжа другого порядку замінено двома гамільтоновими рівняннями першого порядку. Звичайно, вони складають одне і те ж (як і повинно!) : диференціювання першого рівняння та підстановка у другому дає одразу\ (\ begin {рівняння}
    -V^ {\ prime} (q) =m\ ddot {q},\ text {тобто} f=m a
    \ end {рівняння}\), вихідне рівняння Ньютона (яке ми вивели раніше з рівнянь Лагранжа).