Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.6: Використання Гамільтоном перетворення Лежандра

  • Page ID
    75232
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У нас є Лагранж\ (\ begin {рівняння}
    L\ left (q_ {i},\ dot {q} _ {i}
    \ right)\ end {рівняння}\), і розуміння Гамільтона, що це не найкращі змінні, нам потрібно замінити Лагранжа на тісно пов'язану функцію (наприклад, перехід від енергії до вільної енергії), тобто функція ци (це не зміниться) і замість\ (\ begin {рівняння}\ точка {q} _ {i}
    \ текст {s,} p_ {i}\ текст {s, з} p_ {i} =\ частковий L\ лівий (q_ {i},\ точка {q} _ {i} _ {i}\ правий)/\ частковий\ точка {q} _ {i}
    \ end {рівняння}\). Це саме перетворення Лежандра, подібне до перетворення\ (\ begin {рівняння}
    f\ rightarrow g
    \ end {рівняння}\), розглянутого вище.

    Нова функція

    \ почати {рівняння}
    Н\ ліворуч (q_ {i}, p_ {i}\ праворуч) =\ sum_ {i = 1} ^ {n} p_ {i}\ dot {q} _ {i} _ {i} -L\ ліворуч (q_ {i},\ dot {q} _ {i}\ праворуч)
    \ кінець {рівняння}

    з якого

    \ почати {рівняння}
    д Н\ ліворуч (p_ {i}, q_ {i}\ праворуч) =-\ sum_ {i}\ точка {p} _ {i} d q_ {i} +\ sum_ {i}\ точка {q} _ {i} d p_ {i}
    \ кінець {рівняння}

    аналогічно\ (\ begin {рівняння}
    d F = -S d T-P d V
    \ end {рівняння}\) Ця нова функція, звичайно, є гамільтоном.