6.7: Перевірка того, що ми можемо усунути qi

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75278

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми повинні перевірити, що ми можемо насправді писати

\ почати {рівняння}
Н\ ліворуч (p_ {i}, q_ {i}\ праворуч) =\ sum_ {i = 1} ^ {n} p_ {i}\ dot {q} _ {i} _ {i} -L\ ліворуч (q_ {i},\ dot {q} _ {i}\ праворуч)
\ кінець {рівняння}

як функція лише змінних\ (\ begin {рівняння}
\ left (q_ {i}, p_ {i}\ право)
\ end {рівняння}\), з усуненням всіх слідів\ (\ begin {рівняння}
\ dot {q} _ {i}
\ end {рівняння}\). Чи завжди це можливо? Відповідь - так.

Нагадаємо, що\ (\ begin {рівняння}
\ dot {q} _ {i}
\ end {рівняння}\) з'являються тільки в Лагранжі в терміні кінетичної енергії, який має загальний вигляд

\ почати {рівняння}
T =\ sum_ {i, j} a_ {i j}\ ліворуч (q_ {k}\ праворуч)\ точка {q} _ {i}\ точка {q} _ {j}
\ кінець {рівняння}

де коефіцієнти\ (\ begin {рівняння}
a_ {i j}
\ end {рівняння}\) залежать загалом від деяких\ (\ begin {рівняння}
q_ {k}
\ end {рівняння}\), але не залежать від швидкостей,\ (\ begin {рівняння}
\ dot {q} _ {k}\ text {'s.}
\ end {рівняння}\) Отже, виходячи з визначення узагальнених моментів,

\ begin {рівняння}
p_ {i} =\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ точка {q} _ {i}} =\ sum_ {j=1} ^ {n} a_ {i j}\ лівий (q_ {k}\ праворуч)\ точка {q} _ {j}
\ кінець {рівняння}

і ми можемо записати це як векторно-матричне рівняння,

\ почати {рівняння}
\ mathbf {p} =\ mathbf {A}\ точка {\ mathbf {q}}
\ кінець {рівняння}

Тобто,\ (\ begin {рівняння}
p_ {i}
\ end {рівняння}\) є лінійною функцією\ (\ begin {рівняння}
\ точка {q} _ {j}\ text {'s.}
\ end {рівняння}\). Отже, обернена матриця\ (\ begin {рівняння}
\ mathbf {A} ^ {-1}
\ end {рівняння}\) дасть нам\ (\ begin {рівняння}
\ dot {q} _ {i}
\ end {рівняння}\) як лінійну функцію pj, а потім поставивши цей вираз для\ (\ begin {рівняння}
\ dot { q} _ {i}
\ end {рівняння}\) в Лагранж дає гамільтоніан як функцію лише від qi та pi, тобто змінних фазового простору.

Матриця А завжди обертається, оскільки кінетична енергія є позитивною визначеною (як це очевидно з її декартового подання), а симетрична позитивна певна матриця має лише позитивні власні значення, і тому є обертовою.