2.12: Брахістохрона

Припустимо, у вас дві точки, A і B, B нижче A, але не безпосередньо нижче. У вас є якась гладка, скажімо, без тертя, дріт, і намистина, яка ковзає по дроту. Проблема полягає в тому, щоб вигнути дріт від А вниз до B таким чином, щоб намистина здійснювала поїздку якомога швидше.

Ця оптимальна крива називається «брахістохроном», який є просто грецьким для «найкоротшого часу».

Але що саме ця крива, тобто що таке\ (\ begin {рівняння}
y (x)
\ end {рівняння}\) в очевидних позначеннях?

Це була проблема, яку Йоганн Бернуллі поставив математикам Європи в журналі Лейбніца в червні 1696 року. Ісаак Ньютон працював повний робочий день, керуючи Королівським монетним двором, відновлюючи Англію, і підвішував фальшивомонетників. Проте, закінчивши повний робочий день о 4 годині вечора, і знайшовши поставлену йому проблему, він вирішив її до 4 ранку наступного ранку, і відправив рішення анонімно Бернуллі. Бернуллі зауважив анонімне рішення «Я впізнаю лева по його клешню».

Це було початком Варіаційного обчислення.

Ось як вирішити проблему: ми візьмемо початкову точку А за початок, а для зручності виміряємо позитивну вісь y вниз. Це означає, що швидкість в будь-якій точці шляху задається

\ begin {рівняння}
\ розрив {1} {2} м v^ {2} =m g y,\ quad v=\ sqrt {2 g y}
\ end {рівняння}

Отже, вимірюючи довжину уздовж шляху,\(ds\) як зазвичай, час задається

\ почати {рівняння} T
=\ int_ {A} ^ {B}\ розрив {d s} {v} =\ int_ {A} ^ {B}\ frac {d s} {\ sqrt {2 г}} =\ int_ {0} ^ {X}\ frac {\ sqrt {1+y^ {\ прайм 2}} d x} {\ sqrt {2 g y}}
\ end {рівняння}

Зверніть увагу, що це має ту ж форму, що і рівняння контактної мережі, єдина різниця полягає в\(y\) тому, що замінюється\ (\ begin {рівняння}
1/\ sqrt {2 g y}
\ end {рівняння}\), від якого не залежить інтеграл\(x\), тому ми маємо перший інтеграл:

\ begin {рівняння}
y^ {\ prime}\ frac {\ частковий f} {\ частковий y^ {\ прайм}} -f =\ текст {константа},\ квадрад f=\ sqrt {\ frac {1+y^ {\ prime 2}} {2 g y}}
\ кінець {рівняння}

Тобто,

\ почати {рівняння}
\ frac {y^ {\ правий 2}} {\ sqrt {\ лівий (1+y^ {\ правий 2}\ правий) 2 г у}} -\ sqrt {\ frac {1+y^ {\ правий 2}} {2 g y}} =-\ frac {1} {\ sqrt {\ лівий (1+y^ {\ правий 2}\ правий 2}) 2 g y}} =\ текст {константа}
\ кінець {рівняння}

тому

\ begin {рівняння}
\ ліворуч (\ frac {d y} {d x}\ праворуч) ^ {2} +1=\ frac {2 a} {y}
\ end {рівняння}

\(2a\)будучи константою інтеграції (2 виявляється зручним).

Нагадуючи, що крива починається з початку A, вона повинна починатися з вертикального переходу вниз, оскільки\ (\ begin {рівняння}
y=0
\ end {рівняння}\). Для досить малих ми можемо наблизити\(y\), ігноруючи 1, так\ (\ begin {рівняння}
\ sqrt {2 a} d x\ cong\ sqrt {y} d y,\ sqrt {2 a} x\ cong 2/{} _ {3} y^ {3/2}
\ end {рівняння}\). Однак крива повинна стати горизонтальною, якщо вона опускається так далеко, як\ (\ begin {рівняння}
y=2 a
\ end {рівняння}\), і вона не може йти нижче цього рівня.

Перестановка з метою інтеграції,

\ почати {рівняння}
d x =\ розрив {d y} {\ sqrt {\ frac {2 a} {y} -1}} =\ sqrt {\ frac {y} {2 a-y}} d y
\ end {рівняння}

Це не дуже привабливий цілісність. Це виглядає трохи приємніше при написанні\ (\ begin {рівняння}
y=a-a z
\ end {рівняння}\)

\ begin {рівняння}
д х = -а\ sqrt {\ frac {1-z} {1+z}} d z
\ end {рівняння}

Тепер що? Звичайно, ми вважаємо за краще, щоб вираз всередині квадратного кореня був ідеальним квадратом. Ви можете згадати з середньої школи триг, що\ (\ begin {рівняння}
1+\ cos\ theta = 2\ cos ^ {2} (\ тета/2),\ quad 1-\ cos\ theta = 2\ sin ^ {2} (\ theta/2)
\ end {рівняння}\). Це дає відразу, що

\ begin {рівняння}
\ гідророзриву {1-\ cos\ тета} {1+\ cos\ тета} =\ тан ^ {2}\ frac {\ тета} {2}
\ кінець {рівняння}

тому заміна\ (\ begin {рівняння}
z=\ cos\ theta
\ end {рівняння}\) - це те, що нам потрібно.

Потім\ (\ begin {рівняння}
d z=-\ sin\ тета д\ тета = -2\ sin (\ тета/2)\ cos (\ тета/2) d\ тета
\ кінець {рівняння}\)

\ begin {рівняння}
d x = -а\ тан\ розрив {\ тета} {2} d z=2 a\ тан\ frac {\ тета} {2}\ sin\ frac {\ тета} {2}\ cos\ theta} {2} d\ theta = 2 a\ sin ^ {2}\ frac {\ тета} {2} d\ theta=a (1-\ cos\ тета) d\ тета
\ кінець {рівняння}

Це інтегрується, щоб дати

\ begin {рівняння}
\ begin {масив} {l}
x=a (\ тета-\ sin\ тета)\\
y=a (1-\ cos\ тета)
\ кінець {масив}
\ кінець {рівняння}

де ми зафіксували константу інтеграції так, щоб крива проходила через початок\ (\ begin {рівняння}
(\ text {at}\ theta=0)
\ end {рівняння}\)

Щоб побачити, як виглядає ця крива, спочатку ігноруйте\(\theta\) терміни в\(x\), залишивши\ (\ begin {рівняння}
x = -a\ sin\ theta, y=-a\ cos\ theta
\ end {рівняння}\). Очевидно, що\(\theta\) при збільшенні від нуля точка\ (\ begin {рівняння}
(x, y)
\ end {рівняння}\) йде проти годинникової стрілки навколо кола радіуса з\(a\) центром\ (\ begin {рівняння}
(0, -a)
\ end {рівняння}\), тобто, торкаючись осі x на походження.

Тепер додаючи\(\theta\) назад, цей круговий рух рухатися неухильно вправо, таким чином, щоб початковий напрямок шляху було вертикально вниз. \ (\ begin {рівняння}
\ text {(Для дуже малих}\ ліворуч. \ тета, у\ сім\ тета^ {2}\ gg x\ sim\ theta^ {3}\ праворуч)
\ end {рівняння}\)

Візуалізуючи загальний рух у міру\(\theta\) неухильного збільшення, центр рухається зі свого вихідного положення на\ (\ begin {рівняння}
(0, -a)
\ end {рівняння}\) вправо зі швидкістю\(a\theta\). Тим часом точка рухається навколо кола проти годинникової стрілки з такою ж швидкістю. Зібравши лінійну швидкість центру з відповідною кутовою швидкістю, ми бачимо рух\ (\ begin {рівняння}
(x (\ theta), y (\ theta))
\ end {рівняння}\) - це шлях точки на обіді колеса, що котиться без ковзання по дорозі (догори дном у нашому випадку, звичайно). Це циклоїд.