2.11: Множник Лагранжа для ланцюга

Мережа генерується шляхом мінімізації потенційної енергії підвісного ланцюга, наведеного вище,

\ почати {рівняння}
J [y (x)] =\ int y d s=\ int y\ ліворуч (1+y^ {\ правий 2}\ правий) ^ {\ frac {1} {2}} d x
\ end {рівняння}

але тепер з урахуванням обмеження фіксованої довжини ланцюга,\ (\ begin {рівняння}
L [y (x)] =\ int d s=\ ell
\ end {рівняння}\)

Метод множника Лагранжа просто узагальнює від змінних до змінних функцій. У наведеному вище прикладі кривої ми мінімізували\ (\ begin {рівняння}
f (x, y) =x^ {2} +y^ {2}\ end {рівняння}\) з урахуванням обмеження\(\begin{equation}g(x, y)=0\end{equation}\). Що нам потрібно зробити зараз, це мінімізувати\ (\ begin {рівняння}
J [y (x)]\ text {з урахуванням обмеження} L [y (x)] -\ ell=0
\ end {рівняння}\)

Для мінімальної кривої\ (\ begin {рівняння}
y (x)
\ end {рівняння}\) і правильного (поки невідомого) значення довільної\(\lambda\) нескінченно малої варіації кривої дасть нульову зміну першого порядку в\ (\ begin {рівняння}
J-\ lambda L
\ end {рівняння}\), пишемо це як

\ begin {рівняння}
\ дельта\ {J [y (x)] -\ лямбда L [y (x)]\} =\ дельта\ ліворуч\ {\ int_ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} (y-\ лямбда) d s\ праворуч\} =\ дельта\ ліворуч\ {\ int_ {x_ {1}} ^ {x_ {2} }-\ лямбда)\ sqrt {1+y^ {\ prime^ {2}}} д х\ вправо\} =0
\ кінець {рівняння}

Примітно, що ефект обмеження полягає в тому, щоб дати простий регульований параметр, походження в напрямку y, щоб ми могли задовольнити вимоги до кінцевої точки та довжини.

Рішення рівняння точно слідує за маршрутом, яким слідує мильна плівка, що веде до першого інтегралу

\ begin {рівняння}
\ розрив {y-\ лямбда} {\ лівий (1+y^ {\ правий 2}\ правий) ^ {\ frac {1} {2}}} = a
\ end {рівняння}

з\(a\) константою інтеграції, яка буде залежати від кінцевих точок.

Перестановка,

\ begin {рівняння}
\ frac {d y} {d x} =\ sqrt {\ ліворуч (\ frac {y-\ лямбда} {a}\ праворуч) ^ {2} -1}
\ end {рівняння}

або

\ begin {рівняння}
d x=\ розрив {a d y} {\ sqrt {(y-\ лямбда) ^ {2} -a^ {2}}}
\ end {рівняння}

Стандартна заміна тут\ (\ begin {рівняння}
y-\ lambda=c\ cosh\ xi
\ end {рівняння}\), знаходимо

\ begin {рівняння}
y=\ лямбда+a\ cosh\ ліворуч (\ frac {x-b} {a}\ праворуч)
\ end {рівняння}

\(b \)Ось друга константа інтеграції, фіксовані кінцеві точки і довжина дають\ (\ begin {рівняння}
\ лямбда, a, b
\ end {рівняння}\). Взагалі рівняння повинні вирішуватися чисельно. Щоб зрозуміти, чому це завжди буде працювати, зверніть увагу, що зміна\(a\) змінюється, наскільки швидко крива коша піднімається з нижньої точки\(\begin{equation}(x, y)=(b, \lambda+a)\end{equation}\), збільшуючи\(a\) «відгодовує» криву, а потім, змінюючи\ (\ begin {рівняння}
b,\ lambda
\ end {рівняння}\) ми можемо перемістити це найнижча точка до найнижчої точки ланцюга (а точніше ланцюга, оскільки вона може знаходитися поза діапазоном, охопленим фізичним ланцюгом).

Алгебраїчно, ми знаємо, що крива може бути записана як\ (\ begin {рівняння}
y=a\ cosh (x/a)
\ end {рівняння}\), хоча на цьому етапі ми не знаємо константи a або де походження. Що ми знаємо, це довжина ланцюга, а також горизонтальні та вертикальні відстані\ (\ begin {рівняння}
\ left (x_ {2} -x_ {1}\ право)\ text {і}\ left (y_ {2} -y_ {1}\ right)
\ end {рівняння}\) між фіксованими кінцевими точками. Нескладно обчислити, що довжина ланцюга дорівнює\ (\ begin {рівняння}
\ ell=a\ sinh\ left (x_ {2}/a\ right) -a\ sinh\ left (x_ {1}/a\ right)
\ end {рівняння}\), а відстань по вертикалі v між кінцевими точками становить\ (\ begin {рівняння}
v=a\ cosh\ left (x_ 2}/a\ праворуч) -а\ кош\ ліворуч (x_ {1}/a\ праворуч)\ текст {з якого}\ ell^ {2} -v^ {2} =4 a^ {2}\ sinh ^ {2}\ лівий [\ лівий (x_ {2} -x_ {1}\ праворуч)/2 a\ праворуч]
\ кінець {рівняння}\). Всі терміни в цьому рівнянні відомі, крім a, які тому можна знайти чисельно. (Це є у Вікіпедії, серед інших місць.)

Вправа: спробуйте застосувати ці міркування для пошуку проблеми мінімізації мильної плівки. У такому випадку ми знаємо\ (\ begin {рівняння}
\ left (x_ {1}, y_ {1}\ право)\ text {і}\ left (x_ {2}, y_ {2}\ право)
\ end {рівняння}\), немає вимоги збереження довжини, щоб знайти a, ми повинні усунути невідоме b з рівнянь\ (\ begin {рівняння}
y_ {1}\ a кош\ лівий ( \ ліворуч (x_ {1} -b\ праворуч)/a\ праворуч), y_ {2} =a\ cosh\ left (\ left (x_ {2} -b\ праворуч)/a\ праворуч)
\ end {рівняння}\). Це не складно, але, на відміну від ланцюга, не дає a через\ (\ begin {рівняння}
y_ {1} -y_ {2}
\ end {рівняння}\), замість\ (\ begin {рівняння}
y_ {1}, y_ {2}
\ end {рівняння}\) з'являються окремо. Поясніть, з точки зору фізики двох систем, чому це так відрізняється від ланцюга.