Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Загальний метод для задачі мінімізації

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75353

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Щоб підкреслити загальність методу, просто напишемо

    \[J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} f\left(y, y^{\prime}\right) d x \quad\left(y^{\prime}=d y / d x\right)\]

    Потім при будь-якому нескінченно малому варіанті\(\delta y(x)\) (рівному нулю в фіксованих кінцевих точках)

    \[\delta J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y} \delta y(x)+\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}(x)\right] d x=0\]

    Щоб досягти подальшого прогресу, ми пишемо\(\delta y^{\prime}=\delta(d y / d x)=(d / d x) \delta y\), потім інтегруємо другий термін частинами, запам'ятовуючи\(\delta y=0\) в кінцевих точках, щоб отримати

    \[\delta J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right)\right] \delta y(x) d x=0\]

    Оскільки це вірно для будь-якої нескінченно малої варіації, ми можемо вибрати варіацію, яка є лише ненульовою близько однієї точки в інтервалі, і зробити висновок, що

    \[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right)=0\]

    Цей загальний результат називається рівнянням Ейлера-Лагранжа. Це дуже важливо - ви побачите це знову.