2.3: Загальний метод для задачі мінімізації

Щоб підкреслити загальність методу, просто напишемо

$$J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} f\left(y, y^{\prime}\right) d x \quad\left(y^{\prime}=d y / d x\right)$$

Потім при будь-якому нескінченно малому варіанті$\delta y(x)$ (рівному нулю в фіксованих кінцевих точках)

$$\delta J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y} \delta y(x)+\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}(x)\right] d x=0$$

Щоб досягти подальшого прогресу, ми пишемо$\delta y^{\prime}=\delta(d y / d x)=(d / d x) \delta y$, потім інтегруємо другий термін частинами, запам'ятовуючи$\delta y=0$ в кінцевих точках, щоб отримати

$$\delta J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right)\right] \delta y(x) d x=0$$

Оскільки це вірно для будь-якої нескінченно малої варіації, ми можемо вибрати варіацію, яка є лише ненульовою близько однієї точки в інтервалі, і зробити висновок, що

$$\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right)=0$$

Цей загальний результат називається рівнянням Ейлера-Лагранжа. Це дуже важливо - ви побачите це знову.