2.3: Загальний метод для задачі мінімізації
- Page ID
- 75353
Щоб підкреслити загальність методу, просто напишемо
\[J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} f\left(y, y^{\prime}\right) d x \quad\left(y^{\prime}=d y / d x\right)\]
Потім при будь-якому нескінченно малому варіанті\(\delta y(x)\) (рівному нулю в фіксованих кінцевих точках)
\[\delta J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y} \delta y(x)+\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}(x)\right] d x=0\]
Щоб досягти подальшого прогресу, ми пишемо\(\delta y^{\prime}=\delta(d y / d x)=(d / d x) \delta y\), потім інтегруємо другий термін частинами, запам'ятовуючи\(\delta y=0\) в кінцевих точках, щоб отримати
\[\delta J[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right)\right] \delta y(x) d x=0\]
Оскільки це вірно для будь-якої нескінченно малої варіації, ми можемо вибрати варіацію, яка є лише ненульовою близько однієї точки в інтервалі, і зробити висновок, що
\[\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f\left(y, y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}\right)=0\]
Цей загальний результат називається рівнянням Ейлера-Лагранжа. Це дуже важливо - ви побачите це знову.