2.1: Мережа та мильна плівка
- Page ID
- 75335
Мережа являє собою вигнуту конфігурацію\(y=y(x)\) рівномірної нерозтягуваної мотузки з двома нерухомими кінцевими точками в спокої в постійному гравітаційному полі. Тобто саме крива мінімізує гравітаційну потенційну енергію
\[J[y(x)]=2 \pi \int_{x_{1}}^{x_{2}} y d s=2 \pi \int_{x_{1}}^{x_{2}} y \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x, \quad\left(y^{\prime}=d y / d x\right)\]
де ми взяли щільність мотузки і тяжкість обидва рівні одиниці для математичної зручності. Зазвичай в обчисленні ми мінімізуємо функцію щодо однієї змінної або декількох змінних. Тут потенційна енергія є функцією функції, еквівалентною нескінченній кількості змінних, і наша задача полягає в тому, щоб мінімізувати її щодо довільних малих варіацій цієї функції. Іншими словами, якщо ми кудись підштовхнемо ланцюг, а її рух гасне повітрям або внутрішнім тертям, вона знову осяде в конфігурації контактної мережі.
Формально кажучи, не буде змін у цій потенційній енергії до провідного порядку, якщо ми зробимо нескінченно малу зміну кривої\(y(x) \rightarrow y(x)+\delta y(x)\) (за умови, звичайно, збереження довжини однаковою, тобто\(\left.\delta \int d s=0 .\right)\).
Цей метод розв'язання задачі називається обчисленням варіацій: у звичайному численні ми робимо нескінченно малу зміну змінної і обчислюємо відповідну зміну функції, і якщо вона дорівнює нулю до провідного порядку в малій зміні, ми знаходимося в крайньому значенні.
(Nitpicking виноска: Насправді це припускає, що термін другого порядку не нульовий -\(x^{3}\) як щодо поблизу походження? Але такі ситуації нечасті в проблемах, з якими ми, швидше за все, зіткнемося.)
Різниця тут полягає в тому, що потенційна енергія висячої зміни - це не просто функція змінної або навіть ряду змінних - це функція функції, вона залежить від положення кожної точки ланцюга (в межі нескінченно малих ланок, тобто або еквівалентно суцільна мотузка).
Отже, ми шукаємо конфігурацію, де потенційна енергія не змінюється до першого порядку для будь-якої нескінченно малої зміни кривої її положення, залежно від фіксованих кінцевих точок та фіксованої довжини ланцюга.
Як розминка, ми розглянемо більш просту, але тісно пов'язану проблему.