8.E: Центральні потенціали (вправи)
- Page ID
- 76853
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- Частинку маси\(m\) поміщають у скінченну сферичну лунку:\ begin {рівняння} V (r) =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
-V_ {0} &\ text {для} r\ leq a\
0 &\ text {for} r>a
\ end {масив}\ право. \ end {рівняння} з\(V_0>0\) і\(a>0\). Знайти наземний стан, вирішивши радіальне рівняння с\(l=0\). Покажіть, що немає заземленого стану, якщо\(V_0\,a^{\,2}< \pi^{\,2}\,\hbar^{\,2}/(8\,m)\). - Розглянемо частинку маси\(m\) в тривимірному гармонічному потенціалі осцилятора\(V(r)=(1/2)\,m\,\omega^{\,2}\,r^{\,2}\). Вирішити задачу шляхом поділу змінних в сферичних координатах, а значить, визначити енергетичні власні значення системи.
- Нормована хвильова функція для наземного стану воднеподібного атома (нейтральний водень\({\rm He}^+\)\({\rm Li}^{++}\), і т.д.) з ядерним зарядом\(Z\,e\) має вигляд,\[\psi = A\,\exp(-\beta\,r),\] де\(A\) і\(\beta\) є константами, і\(r\) є відстанню між ядром і електроном. Показати наступне:
- \(A^2=\beta^{\,3}/\pi\).
- \(\beta = Z/a_0\), де\(a_0=(\hbar^{\,2}/m_e)\,(4\pi\,\epsilon_0/e^{\,2})\).
- Енергія є\(E=-Z^{\,2}\,E_0\) де\(E_0 = (m_e/2\,\hbar^{\,2})\,(e^{\,2}/4\pi\,\epsilon_0)^2\).
- Очікувані значення потенційної і кінетичної енергій є\(2\,E\) і\(-E\), відповідно.
- Очікувана величина\(r\) є\((3/2)\,(a_0/Z)\).
- Найімовірніше значення\(r\) є\(a_0/Z\).
- Атом тритію знаходиться в наземному стані. Раптом ядро розпадається в ядро гелію, через випромінювання швидкого електрона, який залишає атом, не збурюючи позаядерний електрон, Знайдіть ймовірність того\(n=1\), що отриманий\({\rm He}^+\) іон залишиться в\(l=0\) стані. Знайдіть ймовірність того, що він залишиться в\(n=2\)\(l=0\) стані. Яка ймовірність того, що іон залишиться в\(l>0\) стані?
- Обчисліть довжини хвиль фотонів, що випромінюються від\(n=2\),\(l=1\) до\(n=1\),\(l=0\) переходу у водні, дейтерію та позитронію.
- Для збереження лінійного імпульсу атом, що випромінює фотон, повинен віддалятися, а це означає, що не вся енергія, що надається в спадному стрибку, йде на фотон. Знайдіть енергію віддачі атома водню, коли він випромінює фотон у\(n=2\)\(n=1\) переході. Яка частка енергії переходу становить енергія віддачі?