8.E: Центральні потенціали (вправи)

1. Частинку маси$m$ поміщають у скінченну сферичну лунку:\ begin {рівняння} V (r) =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
   -V_ {0} &\ text {для} r\ leq a\
   0 &\ text {for} r>a
   \ end {масив}\ право. \ end {рівняння} з$V_0>0$ і$a>0$. Знайти наземний стан, вирішивши радіальне рівняння с$l=0$. Покажіть, що немає заземленого стану, якщо$V_0\,a^{\,2}< \pi^{\,2}\,\hbar^{\,2}/(8\,m)$.
2. Розглянемо частинку маси$m$ в тривимірному гармонічному потенціалі осцилятора$V(r)=(1/2)\,m\,\omega^{\,2}\,r^{\,2}$. Вирішити задачу шляхом поділу змінних в сферичних координатах, а значить, визначити енергетичні власні значення системи.
3. Нормована хвильова функція для наземного стану воднеподібного атома (нейтральний водень${\rm He}^+$${\rm Li}^{++}$, і т.д.) з ядерним зарядом$Z\,e$ має вигляд, $$\psi = A\,\exp(-\beta\,r),$$ де$A$ і$\beta$ є константами, і$r$ є відстанню між ядром і електроном. Показати наступне:
   1. $A^2=\beta^{\,3}/\pi$.
   2. $\beta = Z/a_0$, де$a_0=(\hbar^{\,2}/m_e)\,(4\pi\,\epsilon_0/e^{\,2})$.
   3. Енергія є$E=-Z^{\,2}\,E_0$ де$E_0 = (m_e/2\,\hbar^{\,2})\,(e^{\,2}/4\pi\,\epsilon_0)^2$.
   4. Очікувані значення потенційної і кінетичної енергій є$2\,E$ і$-E$, відповідно.
   5. Очікувана величина$r$ є$(3/2)\,(a_0/Z)$.
   6. Найімовірніше значення$r$ є$a_0/Z$.
4. Атом тритію знаходиться в наземному стані. Раптом ядро розпадається в ядро гелію, через випромінювання швидкого електрона, який залишає атом, не збурюючи позаядерний електрон, Знайдіть ймовірність того$n=1$, що отриманий${\rm He}^+$ іон залишиться в$l=0$ стані. Знайдіть ймовірність того, що він залишиться в$n=2$$l=0$ стані. Яка ймовірність того, що іон залишиться в$l>0$ стані?
5. Обчисліть довжини хвиль фотонів, що випромінюються від$n=2$,$l=1$ до$n=1$,$l=0$ переходу у водні, дейтерію та позитронію.
6. Для збереження лінійного імпульсу атом, що випромінює фотон, повинен віддалятися, а це означає, що не вся енергія, що надається в спадному стрибку, йде на фотон. Знайдіть енергію віддачі атома водню, коли він випромінює фотон у$n=2$$n=1$ переході. Яка частка енергії переходу становить енергія віддачі?

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick