8.2: Нескінченна сферична потенційна
Розглянемо частинку масиm і енергії, щоE>0 рухаються в наступному простому центральному потенціалі:
V(r) = \left\{\begin{array}{lcl} 0&\,&\mbox{for $0\leq r\leq a$}\\[0.5ex] \infty&&\mbox{otherwise} \end{array}\right..
Зрозуміло, що\psi хвильова функція є лише ненульовою в регіоні0\leq r \leq a. У межах цієї області він підпорядковується фізичним граничним умовам, що він добре поводився (тобто інтегровний квадрат) приr=0, і що він дорівнює нулю приr=a. (Див. Розділ [s5.2].) Запис хвильової функції в стандартному вигляді
\label{e9.27} \psi(r,\theta,\phi) = R_{n,l}(r)\,Y_{l,m}(\theta,\phi),
виводимо (див. Попередній розділ), що радіальна функціяR_{n,l}(r) задовольняє
\frac{d^{\,2} R_{n,l}}{dr^{\,2}} + \frac{2}{r}\frac{dR_{n,l}}{dr} + \left[k^{\,2} - \frac{l\,(l+1)}{r^{\,2}}\right] R_{n,l} = 0в регіоні0\leq r \leq a, де
\label{e9.29} k^{\,2} = \frac{2\,m\,E}{\hbar^{\,2}}.Визначаючи масштабовану радіальну зміннуz=k\,r, попереднє диференціальне рівняння може
трансформуватися в стандартну форму
\ [\ розрив {d^ {\ ,2} R_ {n, l}} {дз^ {\ ,2}} +\ гідророзрив {2} {z}\ frac {dr_ {n, l}} {dz} +\ лівий [1 -\ frac {l\, (l+1
)} {z^ {\ ,2}}\ право] R_ {n, l} = 0.\]
Два незалежні розв'язки цього відомого диференціального рівняння другого порядку називаються сферичними функціями Бесселя і можуть бути записані
\begin{aligned} j_l(z)&= z^{\,l}\left(-\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^l\left(\frac{\sin z}{z}\right),\\[0.5ex] y_l(z)&= -z^{\,l}\left(-\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^l\left(\frac{\cos z}{z}\right).\end{aligned}
Таким чином, перші кілька сферичних функцій Бесселя набувають вигляду\begin{aligned} j_0(z) &= \frac{\sin z}{z},\\[0.5ex] j_1(z)&=\frac{\sin z}{z^{\,2}} - \frac{\cos z}{z},\\[0.5ex] y_0(z) &= - \frac{\cos z}{z},\\[0.5ex] y_1(z) &= - \frac{\cos z}{z^{\,2}} - \frac{\sin z}{z}.\end{aligned}
Ці функції також побудовані на малюнку [sph]. Видно, що сферичні функції Бесселя носять коливальний характер, проходячи через нуль багато разів. Однакy_l(z) функції погано поводяться (тобто вони не є квадратними інтегровними) приz=0, тоді якj_l(z) функції добре поводяться всюди. З нашої граничної умови випливаєr=0, що нефізичні, і що радіальна хвильова функціяR_{n,l}(r), таким чином, пропорційнаj_l(k\,r) тільки.y_l(z) Для того, щоб задовольнити граничну умову приr=a [тобто,R_{n,l}(a)=0], значенняk має бути обрано таке, якеz=k\,a відповідає одному з нулівj_l(z). Позначимоn нульj_l(z) asz_{n,l}. Звідси випливає, що
k\,a = z_{n,l},дляn=1,2,3,\ldots. Отже, з Рівняння ([e9.29]), допустимі рівні енергії є \label{e9.39} E_{n,l} = z_{n,l}^{\,2}\,\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m\,a^{\,2}}.Перші кілька значеньz_{n,l} перераховані в таблиці [tsph]. Видно, щоz_{n,l} є зростаючою функцією обохn іl.
n=1 | n=2 | n=3 | n=4 | |
---|---|---|---|---|
l=0 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 3.142 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 6.283 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 9.425 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 12.566 |
[0.5 екс]l=1 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 4.493 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 7.725 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 10.904 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 14.066 |
[0.5 екс]l=2 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 5.763 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 9.095 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 12.323 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 15.515 |
[0.5 екс]l=3 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 6.988 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 10.417 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 13.698 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 16.924 |
[0.5 екс]l=4 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 8.183 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 11.705 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 15.040 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 18.301 |
Зараз ми можемо інтерпретувати три квантові числа -nl, іm —які визначають форму хвильової функції, зазначеної в Рівнянні ([e9.27]). Як зрозуміло з глави [сорб], азимутальне квантове числоm визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки азимутальний кут\phi коливається між 0 і2\pi. Таким чином,m=0 відповідає відсутність вузлів,m=1 єдиномуm=2 вузлу, двом вузлам і так далі. Аналогічно, полярне квантове числоl визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки полярний кут\theta коливається між 0 і\pi. Знову ж таки, неl=0 відповідаєl=1 вузлам, єдиному вузлу і так далі. Нарешті, радіальне квантове числоn визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки радіальна зміннаr коливається між 0 іa (не рахуючи будь-яких вузлів приr=0 абоr=a). Таким чином,n=1 відповідає відсутність вузлів,n=2 єдиномуn=3 вузлу, двом вузлам і так далі. Зауважте, що для випадку нескінченної потенційної ями єдиними обмеженнями щодо значень, які можуть приймати різні квантові числа, є те, щоn має бути натуральним числом,l має бути невід'ємним цілим числом іm має бути цілим числом, що лежить між-l іl. Відзначимо, далі, що допустимі енергетичні рівні ([e9.39]) залежать тільки від значень квантових чиселn іl. Нарешті, легко продемонструється, що сферичні функції Бесселя взаємно ортогональні: тобто\int_0^a j_l(z_{n,l}\,r/a)\,j_{l}(z_{n',l}\,r/a) \,r^{\,2}\,dr = 0 колиn\neq n'. Враховуючи, щоY_{l,m}(\theta,\phi) вони взаємно ортогональні (див. Глава [сорб]), це гарантує, що хвильові функції ([e9.27]) відповідають різним множинам значень квантових чиселnl, і взаємноm ортогональні.