8.2: Нескінченна сферична потенційна
- Page ID
- 76855
Розглянемо частинку маси\(m\) і енергії, що\(E>0\) рухаються в наступному простому центральному потенціалі:
\[V(r) = \left\{\begin{array}{lcl} 0&\,&\mbox{for $0\leq r\leq a$}\\[0.5ex] \infty&&\mbox{otherwise} \end{array}\right..\]
Зрозуміло, що\(\psi\) хвильова функція є лише ненульовою в регіоні\(0\leq r \leq a\). У межах цієї області він підпорядковується фізичним граничним умовам, що він добре поводився (тобто інтегровний квадрат) при\(r=0\), і що він дорівнює нулю при\(r=a\). (Див. Розділ [s5.2].) Запис хвильової функції в стандартному вигляді
\[\label{e9.27} \psi(r,\theta,\phi) = R_{n,l}(r)\,Y_{l,m}(\theta,\phi),\]
виводимо (див. Попередній розділ), що радіальна функція\(R_{n,l}(r)\) задовольняє
\[\frac{d^{\,2} R_{n,l}}{dr^{\,2}} + \frac{2}{r}\frac{dR_{n,l}}{dr} + \left[k^{\,2} - \frac{l\,(l+1)}{r^{\,2}}\right] R_{n,l} = 0\]в регіоні\(0\leq r \leq a\), де
\[\label{e9.29} k^{\,2} = \frac{2\,m\,E}{\hbar^{\,2}}.\]Визначаючи масштабовану радіальну змінну\(z=k\,r\), попереднє диференціальне рівняння може
трансформуватися в стандартну форму
\ [\ розрив {d^ {\ ,2} R_ {n, l}} {дз^ {\ ,2}} +\ гідророзрив {2} {z}\ frac {dr_ {n, l}} {dz} +\ лівий [1 -\ frac {l\, (l+1
)} {z^ {\ ,2}}\ право] R_ {n, l} = 0.\]
Два незалежні розв'язки цього відомого диференціального рівняння другого порядку називаються сферичними функціями Бесселя і можуть бути записані
\[\begin{aligned} j_l(z)&= z^{\,l}\left(-\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^l\left(\frac{\sin z}{z}\right),\\[0.5ex] y_l(z)&= -z^{\,l}\left(-\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^l\left(\frac{\cos z}{z}\right).\end{aligned}\]
Таким чином, перші кілька сферичних функцій Бесселя набувають вигляду\[\begin{aligned} j_0(z) &= \frac{\sin z}{z},\\[0.5ex] j_1(z)&=\frac{\sin z}{z^{\,2}} - \frac{\cos z}{z},\\[0.5ex] y_0(z) &= - \frac{\cos z}{z},\\[0.5ex] y_1(z) &= - \frac{\cos z}{z^{\,2}} - \frac{\sin z}{z}.\end{aligned}\]
Ці функції також побудовані на малюнку [sph]. Видно, що сферичні функції Бесселя носять коливальний характер, проходячи через нуль багато разів. Однак\(y_l(z)\) функції погано поводяться (тобто вони не є квадратними інтегровними) при\(z=0\), тоді як\(j_l(z)\) функції добре поводяться всюди. З нашої граничної умови випливає\(r=0\), що нефізичні, і що радіальна хвильова функція\(R_{n,l}(r)\), таким чином, пропорційна\(j_l(k\,r)\) тільки.\(y_l(z)\) Для того, щоб задовольнити граничну умову при\(r=a\) [тобто,\(R_{n,l}(a)=0\)], значення\(k\) має бути обрано таке, яке\(z=k\,a\) відповідає одному з нулів\(j_l(z)\). Позначимо\(n\) нуль\(j_l(z)\) as\(z_{n,l}\). Звідси випливає, що
\[k\,a = z_{n,l},\]для\(n=1,2,3,\ldots\). Отже, з Рівняння ([e9.29]), допустимі рівні енергії є \[\label{e9.39} E_{n,l} = z_{n,l}^{\,2}\,\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m\,a^{\,2}}.\]Перші кілька значень\(z_{n,l}\) перераховані в таблиці [tsph]. Видно, що\(z_{n,l}\) є зростаючою функцією обох\(n\) і\(l\).
| \(n=1\) | \(n=2\) | \(n=3\) | \(n=4\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(l=0\) | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 3.142 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 6.283 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 9.425 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 12.566 |
| [0.5 екс]\(l=1\) | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 4.493 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 7.725 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 10.904 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 14.066 |
| [0.5 екс]\(l=2\) | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 5.763 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 9.095 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 12.323 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 15.515 |
| [0.5 екс]\(l=3\) | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 6.988 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 10.417 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 13.698 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 16.924 |
| [0.5 екс]\(l=4\) | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 8.183 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 11.705 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 15.040 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 18.301 |
Зараз ми можемо інтерпретувати три квантові числа -\(n\)\(l\), і\(m\) —які визначають форму хвильової функції, зазначеної в Рівнянні ([e9.27]). Як зрозуміло з глави [сорб], азимутальне квантове число\(m\) визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки азимутальний кут\(\phi\) коливається між 0 і\(2\pi\). Таким чином,\(m=0\) відповідає відсутність вузлів,\(m=1\) єдиному\(m=2\) вузлу, двом вузлам і так далі. Аналогічно, полярне квантове число\(l\) визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки полярний кут\(\theta\) коливається між 0 і\(\pi\). Знову ж таки, не\(l=0\) відповідає\(l=1\) вузлам, єдиному вузлу і так далі. Нарешті, радіальне квантове число\(n\) визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки радіальна змінна\(r\) коливається між 0 і\(a\) (не рахуючи будь-яких вузлів при\(r=0\) або\(r=a\)). Таким чином,\(n=1\) відповідає відсутність вузлів,\(n=2\) єдиному\(n=3\) вузлу, двом вузлам і так далі. Зауважте, що для випадку нескінченної потенційної ями єдиними обмеженнями щодо значень, які можуть приймати різні квантові числа, є те, що\(n\) має бути натуральним числом,\(l\) має бути невід'ємним цілим числом і\(m\) має бути цілим числом, що лежить між\(-l\) і\(l\). Відзначимо, далі, що допустимі енергетичні рівні ([e9.39]) залежать тільки від значень квантових чисел\(n\) і\(l\). Нарешті, легко продемонструється, що сферичні функції Бесселя взаємно ортогональні: тобто\[\int_0^a j_l(z_{n,l}\,r/a)\,j_{l}(z_{n',l}\,r/a) \,r^{\,2}\,dr = 0\] коли\(n\neq n'\). Враховуючи, що\(Y_{l,m}(\theta,\phi)\) вони взаємно ортогональні (див. Глава [сорб]), це гарантує, що хвильові функції ([e9.27]) відповідають різним множинам значень квантових чисел\(n\)\(l\), і взаємно\(m\) ортогональні.