8.2: Нескінченна сферична потенційна

Розглянемо частинку маси$m$ і енергії, що$E>0$ рухаються в наступному простому центральному потенціалі:

$$V(r) = \left\{\begin{array}{lcl} 0&\,&\mbox{for $0\leq r\leq a$}\\[0.5ex] \infty&&\mbox{otherwise} \end{array}\right..$$

Зрозуміло, що$\psi$ хвильова функція є лише ненульовою в регіоні$0\leq r \leq a$. У межах цієї області він підпорядковується фізичним граничним умовам, що він добре поводився (тобто інтегровний квадрат) при$r=0$, і що він дорівнює нулю при$r=a$. (Див. Розділ [s5.2].) Запис хвильової функції в стандартному вигляді

$$\label{e9.27} \psi(r,\theta,\phi) = R_{n,l}(r)\,Y_{l,m}(\theta,\phi),$$

виводимо (див. Попередній розділ), що радіальна функція$R_{n,l}(r)$ задовольняє

$$\frac{d^{\,2} R_{n,l}}{dr^{\,2}} + \frac{2}{r}\frac{dR_{n,l}}{dr} + \left[k^{\,2} - \frac{l\,(l+1)}{r^{\,2}}\right] R_{n,l} = 0$$ в регіоні$0\leq r \leq a$, де

$$\label{e9.29} k^{\,2} = \frac{2\,m\,E}{\hbar^{\,2}}.$$ Визначаючи масштабовану радіальну змінну$z=k\,r$, попереднє диференціальне рівняння може

трансформуватися в стандартну форму

\ [\ розрив {d^ {\ ,2} R_ {n, l}} {дз^ {\ ,2}} +\ гідророзрив {2} {z}\ frac {dr_ {n, l}} {dz} +\ лівий [1 -\ frac {l\, (l+1

)} {z^ {\ ,2}}\ право] R_ {n, l} = 0.\]

Два незалежні розв'язки цього відомого диференціального рівняння другого порядку називаються сферичними функціями Бесселя і можуть бути записані

$$\begin{aligned} j_l(z)&= z^{\,l}\left(-\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^l\left(\frac{\sin z}{z}\right),\\[0.5ex] y_l(z)&= -z^{\,l}\left(-\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^l\left(\frac{\cos z}{z}\right).\end{aligned}$$

Таким чином, перші кілька сферичних функцій Бесселя набувають вигляду

$$\begin{aligned} j_0(z) &= \frac{\sin z}{z},\\[0.5ex] j_1(z)&=\frac{\sin z}{z^{\,2}} - \frac{\cos z}{z},\\[0.5ex] y_0(z) &= - \frac{\cos z}{z},\\[0.5ex] y_1(z) &= - \frac{\cos z}{z^{\,2}} - \frac{\sin z}{z}.\end{aligned}$$

Ці функції також побудовані на малюнку [sph]. Видно, що сферичні функції Бесселя носять коливальний характер, проходячи через нуль багато разів. Однак$y_l(z)$ функції погано поводяться (тобто вони не є квадратними інтегровними) при$z=0$, тоді як$j_l(z)$ функції добре поводяться всюди. З нашої граничної умови випливає$r=0$, що нефізичні, і що радіальна хвильова функція$R_{n,l}(r)$, таким чином, пропорційна$j_l(k\,r)$ тільки.$y_l(z)$ Для того, щоб задовольнити граничну умову при$r=a$ [тобто,$R_{n,l}(a)=0$], значення$k$ має бути обрано таке, яке$z=k\,a$ відповідає одному з нулів$j_l(z)$. Позначимо$n$ нуль$j_l(z)$ as$z_{n,l}$. Звідси випливає, що

$$k\,a = z_{n,l},$$ для$n=1,2,3,\ldots$. Отже, з Рівняння ([e9.29]), допустимі рівні енергії є $$\label{e9.39} E_{n,l} = z_{n,l}^{\,2}\,\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m\,a^{\,2}}.$$ Перші кілька значень$z_{n,l}$ перераховані в таблиці [tsph]. Видно, що$z_{n,l}$ є зростаючою функцією обох$n$ і$l$.

Перші кілька нулів сферичної функції Бесселя$j_l(z)$.

	$n=1$	$n=2$	$n=3$	$n=4$
$l=0$	\ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 3.142	\ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 6.283	\ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 9.425	\ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 12.566
[0.5 екс]$l=1$	\ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 4.493	\ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 7.725	\ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 10.904	\ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 14.066
[0.5 екс]$l=2$	\ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 5.763	\ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 9.095	\ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 12.323	\ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 15.515
[0.5 екс]$l=3$	\ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 6.988	\ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 10.417	\ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 13.698	\ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 16.924
[0.5 екс]$l=4$	\ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 8.183	\ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 11.705	\ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 15.040	\ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 18.301

Зараз ми можемо інтерпретувати три квантові числа -$n$$l$, і$m$ —які визначають форму хвильової функції, зазначеної в Рівнянні ([e9.27]). Як зрозуміло з глави [сорб], азимутальне квантове число$m$ визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки азимутальний кут$\phi$ коливається між 0 і$2\pi$. Таким чином,$m=0$ відповідає відсутність вузлів,$m=1$ єдиному$m=2$ вузлу, двом вузлам і так далі. Аналогічно, полярне квантове число$l$ визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки полярний кут$\theta$ коливається між 0 і$\pi$. Знову ж таки, не$l=0$ відповідає$l=1$ вузлам, єдиному вузлу і так далі. Нарешті, радіальне квантове число$n$ визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки радіальна змінна$r$ коливається між 0 і$a$ (не рахуючи будь-яких вузлів при$r=0$ або$r=a$). Таким чином,$n=1$ відповідає відсутність вузлів,$n=2$ єдиному$n=3$ вузлу, двом вузлам і так далі. Зауважте, що для випадку нескінченної потенційної ями єдиними обмеженнями щодо значень, які можуть приймати різні квантові числа, є те, що$n$ має бути натуральним числом,$l$ має бути невід'ємним цілим числом і$m$ має бути цілим числом, що лежить між$-l$ і$l$. Відзначимо, далі, що допустимі енергетичні рівні ([e9.39]) залежать тільки від значень квантових чисел$n$ і$l$. Нарешті, легко продемонструється, що сферичні функції Бесселя взаємно ортогональні: тобто

$$\int_0^a j_l(z_{n,l}\,r/a)\,j_{l}(z_{n',l}\,r/a) \,r^{\,2}\,dr = 0$$ коли$n\neq n'$. Враховуючи, що$Y_{l,m}(\theta,\phi)$ вони взаємно ортогональні (див. Глава [сорб]), це гарантує, що хвильові функції ([e9.27]) відповідають різним множинам значень квантових чисел$n$$l$, і взаємно$m$ ортогональні.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick