8.2: Нескінченна сферична потенційна
Розглянемо частинку масиm і енергії, щоE>0 рухаються в наступному простому центральному потенціалі:
V(r)={0for 0≤r≤a∞otherwise.
Зрозуміло, щоψ хвильова функція є лише ненульовою в регіоні0≤r≤a. У межах цієї області він підпорядковується фізичним граничним умовам, що він добре поводився (тобто інтегровний квадрат) приr=0, і що він дорівнює нулю приr=a. (Див. Розділ [s5.2].) Запис хвильової функції в стандартному вигляді
виводимо (див. Попередній розділ), що радіальна функціяRn,l(r) задовольняє
d2Rn,ldr2+2rdRn,ldr+[k2−l(l+1)r2]Rn,l=0в регіоні0≤r≤a, де
k2=2mEℏ2.Визначаючи масштабовану радіальну зміннуz=kr, попереднє диференціальне рівняння може
трансформуватися в стандартну форму
\ [\ розрив {d^ {\ ,2} R_ {n, l}} {дз^ {\ ,2}} +\ гідророзрив {2} {z}\ frac {dr_ {n, l}} {dz} +\ лівий [1 -\ frac {l\, (l+1
)} {z^ {\ ,2}}\ право] R_ {n, l} = 0.\]
Два незалежні розв'язки цього відомого диференціального рівняння другого порядку називаються сферичними функціями Бесселя і можуть бути записані
jl(z)=zl(−1zddz)l(sinzz),yl(z)=−zl(−1zddz)l(coszz).
Таким чином, перші кілька сферичних функцій Бесселя набувають виглядуj0(z)=sinzz,j1(z)=sinzz2−coszz,y0(z)=−coszz,y1(z)=−coszz2−sinzz.
Ці функції також побудовані на малюнку [sph]. Видно, що сферичні функції Бесселя носять коливальний характер, проходячи через нуль багато разів. Однакyl(z) функції погано поводяться (тобто вони не є квадратними інтегровними) приz=0, тоді якjl(z) функції добре поводяться всюди. З нашої граничної умови випливаєr=0, що нефізичні, і що радіальна хвильова функціяRn,l(r), таким чином, пропорційнаjl(kr) тільки.yl(z) Для того, щоб задовольнити граничну умову приr=a [тобто,Rn,l(a)=0], значенняk має бути обрано таке, якеz=ka відповідає одному з нулівjl(z). Позначимоn нульjl(z) aszn,l. Звідси випливає, що
ka=zn,l,дляn=1,2,3,…. Отже, з Рівняння ([e9.29]), допустимі рівні енергії є En,l=z2n,lℏ22ma2.Перші кілька значеньzn,l перераховані в таблиці [tsph]. Видно, щоzn,l є зростаючою функцією обохn іl.
n=1 | n=2 | n=3 | n=4 | |
---|---|---|---|---|
l=0 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 3.142 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 6.283 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 9.425 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 12.566 |
[0.5 екс]l=1 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 4.493 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 7.725 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 10.904 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 14.066 |
[0.5 екс]l=2 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 5.763 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 9.095 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 12.323 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 15.515 |
[0.5 екс]l=3 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 6.988 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 10.417 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 13.698 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 16.924 |
[0.5 екс]l=4 | \ (n=1\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 8.183 | \ (n=2\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 11.705 | \ (n=3\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 15.040 | \ (n=4\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 18.301 |
Зараз ми можемо інтерпретувати три квантові числа -nl, іm —які визначають форму хвильової функції, зазначеної в Рівнянні ([e9.27]). Як зрозуміло з глави [сорб], азимутальне квантове числоm визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки азимутальний кутϕ коливається між 0 і2π. Таким чином,m=0 відповідає відсутність вузлів,m=1 єдиномуm=2 вузлу, двом вузлам і так далі. Аналогічно, полярне квантове числоl визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки полярний кутθ коливається між 0 іπ. Знову ж таки, неl=0 відповідаєl=1 вузлам, єдиному вузлу і так далі. Нарешті, радіальне квантове числоn визначає кількість вузлів у хвильовій функції, оскільки радіальна зміннаr коливається між 0 іa (не рахуючи будь-яких вузлів приr=0 абоr=a). Таким чином,n=1 відповідає відсутність вузлів,n=2 єдиномуn=3 вузлу, двом вузлам і так далі. Зауважте, що для випадку нескінченної потенційної ями єдиними обмеженнями щодо значень, які можуть приймати різні квантові числа, є те, щоn має бути натуральним числом,l має бути невід'ємним цілим числом іm має бути цілим числом, що лежить між−l іl. Відзначимо, далі, що допустимі енергетичні рівні ([e9.39]) залежать тільки від значень квантових чиселn іl. Нарешті, легко продемонструється, що сферичні функції Бесселя взаємно ортогональні: тобто∫a0jl(zn,lr/a)jl(zn′,lr/a)r2dr=0 колиn≠n′. Враховуючи, щоYl,m(θ,ϕ) вони взаємно ортогональні (див. Глава [сорб]), це гарантує, що хвильові функції ([e9.27]) відповідають різним множинам значень квантових чиселnl, і взаємноm ортогональні.