8.1: Виведення радіального рівняння

Тепер ми бачили, що декартові компоненти імпульсу${\bf p}$, можуть бути представлені у вигляді (див. Розділ [s7.2])

$$p_i = -{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial x_i}$$ для$i=1,2,3$, де$x_1\equiv x$$x_2\equiv y$,$x_3\equiv z$, і${\bf r}\equiv (x_1, x_2, x_3)$. Так само з попередніх виразів та основних визначень сферичних координат легко продемонструвати [див. Рівняння ([e8.21]) — ([e8zz])], що радіальна складова імпульсу може бути представлена у вигляді

\ почати {рівняння} p_ {r}\ equiv\ frac {\ mathbf {p}\ cdot\ mathbf {r}} {r} =-\ mathrm {i}\ hbar\ frac {\ частковий} {\ частковий r}\ кінець {рівняння}

Нагадаємо, що кутовий вектор імпульсу${\bf L}$,, визначається

\ почати {рівняння}\ mathbf {L} =\ mathbf {r}\ раз\ mathbf {p}\ кінець {рівняння}

[Див. Рівняння ([e8.0]).] Цей вираз також можна записати в наступному вигляді:

$$\label{e9.6} L_i = \epsilon_{ijk}\,x_j\,p_k.$$ Тут$\epsilon_{ijk}$ (де$i,j,k$ все біжать від 1 до 3) є елементами так званого повністю антисиметричного тензора. Значення різних елементів цього тензора визначаються за допомогою простого правила:\ begin {рівняння}\ epsilon_ {i j k} =\ left\ {\ begin {масив} {cl}
0 &\ text {if} i, j, k\ text {не всі різні}\\
1 &\ text {якщо} i, j, k\ text {циклічні перестановки} 1, 2,3\\
-1 &\ text {якщо} i, j, k\ text {є антициклічними перестановками} 1,2,3
\ end {масив}\ право. \ end {рівняння} Таким чином$\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=1$$\epsilon_{321}=\epsilon_{132}=-1$,,$\epsilon_{112}=\epsilon_{131}=0$, і, і так далі. Рівняння ([e9.6]) також використовує угоду про підсумовування Ейнштейна, згідно з якою повторювані індекси підсумовуються (від 1 до 3). Наприклад,$a_i\,b_i\equiv a_1\,b_1+a_2\,b_2+a_3\,b_3$. Використовуючи цю конвенцію, а також рівняння ([e9.7]), легко помітити, що рівняння ([e9.5]) і ([e9.6]) дійсно еквівалентні.

Обчислимо значення за$L^2$ допомогою Equation ([e9.6]). Згідно з нашими новими позначеннями,$L^2$ це те ж саме, що і$L_i\,L_i$. Таким чином, ми отримуємо

$$\label{e9.8} L^2 = \epsilon_{ijk}\,x_j\,p_k\,\epsilon_{ilm}\,x_l\,p_m = \epsilon_{ijk}\,\epsilon_{ilm}\,x_j\,p_k\,x_l\,p_m.$$ Примітка, що ми можемо зрушити позицію,$\epsilon_{ilm}$ тому що його елементи є лише числами, і, отже, їздити на роботу з усіма$x_i$ і$p_i$. Тепер легко продемонструвати,$\delta_{ij}$ що $$\label{e9.9} \epsilon_{ijk}\,\epsilon_{ilm}\equiv \delta_{jl}\,\delta_{km}-\delta_{jm}\,\delta_{kl}.$$ ось звичайна дельта Кронекера, елементи якої визначаються за правилом\ begin {рівняння}\ delta_ {i j} =\ left\ {\ begin {array} {ll}
1 &\ text {if} i\ text {і} j\ text {той же}\\
0 &\ текст {якщо} i\ текст {і} j\ текст {інший}
\ end {масив}\ право. \ end {рівняння} Випливає з Рівняння ([e9.8]) і ([e9.9]), що $$\label{e9.11} L^2 = x_i\,p_j\,x_i\,p_j - x_i\,p_j\,x_j\,p_i.$$ тут ми використали досить очевидний результат, що$\delta_{ij}\,a_i\,b_j \equiv a_i\,b_i$. Ми також були обережні, щоб зберегти порядок різних термінів на правій стороні попереднього виразу, тому що$x_i$ і$p_i$ не обов'язково їздити один з одним.

Тепер нам потрібно змінити порядок термінів у правій частині Рівняння ([e9.11]). Ми можемо досягти цієї мети, використовуючи фундаментальне співвідношення комутації для$x_i$ і$p_i$:

$$\label{e9.12} [x_i,p_j] = {\rm i}\,\hbar\,\delta_{ij}.$$ [Див Рівняння ([commxp]).] Таким чином, $$\begin{aligned} L^2 &= x_i\left(x_i\,p_j - [x_i,p_j]\right) p_j - x_i\,p_j\,\left(p_i\,x_j+[x_j,p_i]\right)\nonumber\\[0.5ex] &=x_i\,x_i\,p_j\,p_j - {\rm i}\,\hbar\,\delta_{ij}\,x_i\,p_j -x_i\,p_j\,p_i\,x_j - {\rm i}\,\hbar\,\delta_{ij}\,x_i\,p_j\nonumber\\[0.5ex] &=x_i\,x_i\,p_j\,p_j -x_i\,p_i\,p_j\,x_j - 2\,{\rm i}\,\hbar\,x_i\,p_i.\end{aligned}$$ Тут, ми скористалися тим$p_j\,p_i=p_i\,p_j$, що, тому що$p_i$ коммутіруют один з одним. [Див. Рівняння ([compp]).] Далі, $$L^2 = x_i\,x_i\,p_j\,p_j - x_i\,p_i\left(x_j\,p_j - [x_j,p_j]\right) - 2\,{\rm i}\,\hbar\,x_i\,p_i.$$ Тепер, відповідно до Рівняння ([e9.12]), $$[x_j,p_j]\equiv [x_1,p_1]+[x_2,p_2]+[x_3,p_3] = 3\,{\rm i}\,\hbar.$$ Отже, ми отримуємо $$L^2 = x_i\,x_i\,p_j\,p_j - x_i\,p_i\,x_j\,p_j + {\rm i}\,\hbar\,x_i\,p_i.$$ Коли виражається в більш умовних векторних позначеннях, попередній вираз стає $$\label{e9.17} L^2 = r^{\,2}\,p^{\,2} - ({\bf r}\cdot{\bf p})^2 + {\rm i}\,\hbar\,{\bf r}\cdot{\bf p}.$$ Зверніть увагу, що якби ми намагалися вивести попередній вираз безпосередньо з Рівняння ([e 9.5]), використовуючи стандартні векторні ідентичності, тоді ми б пропустили останній термін праворуч. Цей термін походить від відсутності комутації між$p_i$ операторами$x_i$ та у квантовій механіці. Звичайно, стандартний векторний аналіз передбачає, що всі терміни комутують один з одним.

Рівняння ([e9.17]) можна переставити, щоб дати

$$p^{\,2} = r^{\,-2}\left[({\bf r}\cdot{\bf p})^2- {\rm i}\,\hbar\,{\bf r}\cdot{\bf p}+L^2\right].$$ Тепер, $${\bf r}\cdot{\bf p} = r\,p_r = -{\rm i}\,\hbar\,r\,\frac{\partial}{\partial r},$$ де було використано рівняння ([e9.4]). Отже, ми отримуємо $$p^{\,2} = -\hbar^{\,2}\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\,\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}- \frac{L^2}{\hbar^{\,2}\,r^{\,2}}\right].$$ Нарешті, попереднє рівняння можна об'єднати з рівнянням ([e9.2]), щоб дати наступний вираз для гамільтоніана: $$\label{e9.21} H = -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\left(\frac{\partial^{\,2}}{\partial r^{\,2}} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}- \frac{L^2}{\hbar^{\,2}\,r^{\,2}}\right) +V(r).$$

Розглянемо тепер, чи переходить попередній гамільтоніан з операторами моменту моменту$L_z$ і$L^2$. Нагадаємо, з розділу [s8.3], що$L_z$ і$L^2$ представлені у вигляді диференціальних операторів, які залежать виключно від кутових сферичних координат$\phi$,$\theta$ і, і не містять радіальної координати,$r$. Таким чином, будь-яка функція$r$, або будь-який диференціальний оператор за участю$r$ (але не$\theta$ і$\phi$), буде автоматично комутувати з$L^2$ і$L_z$. Причому,$L^2$ їздить як з собою, так і з$L_z$. (Див. Розділ [s8.2].) Тому зрозуміло, що попередній гамільтоніан їздить з обома$L_z$ і$L^2$.

Згідно з Розділом [smeas], якщо два оператори їздять один з одним, то вони мають одночасні власні стани. Таким чином, робиться висновок, що для частинки, що рухається в центральному потенціалі, власні стани гамільтоніана є одночасними власними станами$L_z$ і$L^2$. Тепер ми вже знайшли одночасні власні$L_z$ стани і$L^2$ —це сферичні гармоніки$Y_{l,m}(\theta,\phi)$, розглянуті в розділі [шарм]. Звідси випливає, що сферичні гармоніки також є власнимистанами гамільтоніана. Це спостереження змушує нас спробувати наступну відокремлювану форму для стаціонарної хвильової функції:

$$\label{e9.22} \psi(r,\theta,\phi) = R(r)\,Y_{l,m}(\theta,\phi).$$ Це відразу випливає, з Рівняння ([e8.29]) і ([e8.30]), і той факт, що$L_z$ і$L^2$ обидва очевидно комутують з$R(r)$, що $$\begin{aligned} L_z\,\psi &= m\,\hbar\,\psi,\\[0.5ex] L^2\,\psi&= l\,(l+1)\,\hbar^{\,2}\,\psi.\label{e9.24}\end{aligned}$$ Відкликати що квантові числа$m$ і$l$ обмежуються прийняттям певних цілих значень, як пояснено в розділі [slsq].

Нарешті, використовуючи рівняння ([e9.1]), ([e9.21]) та ([e9.24]), ми отримуємо наступне диференціальне рівняння, яке визначає радіальну зміну стаціонарної хвильової функції:

$$-\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\left[\frac{d^{\,2}}{d r^{\,2}} + \frac{2}{r}\frac{d}{d r}- \frac{l\,(l+1)}{r^{\,2}}\right]R_{n,l} +V\,R_{n,l} = E\,R_{n,l}.$$ Тут ми позначили функцію двома$R(r)$ квантовими числами, $n$і$l$. Друге квантове число$l$,, звичайно, пов'язане з власним значенням$L^2$. [Зверніть увагу, що азимутальне квантове число$m$, не фігурує в попередньому рівнянні, і, отже, не впливає ні на функцію,$R(r)$ ні на енергію,$E$.] Як ми побачимо, перше квантове число визначається обмеженням$n$, що радіальна хвильова функція бути інтегрованою за квадратом.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick