8.1: Виведення радіального рівняння
- Page ID
- 76854
Тепер ми бачили, що декартові компоненти імпульсу\({\bf p}\), можуть бути представлені у вигляді (див. Розділ [s7.2])\[p_i = -{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial x_i}\] для\(i=1,2,3\), де\(x_1\equiv x\)\(x_2\equiv y\),\(x_3\equiv z\), і\({\bf r}\equiv (x_1, x_2, x_3)\). Так само з попередніх виразів та основних визначень сферичних координат легко продемонструвати [див. Рівняння ([e8.21]) — ([e8zz])], що радіальна складова імпульсу може бути представлена у вигляді
\ почати {рівняння} p_ {r}\ equiv\ frac {\ mathbf {p}\ cdot\ mathbf {r}} {r} =-\ mathrm {i}\ hbar\ frac {\ частковий} {\ частковий r}\ кінець {рівняння}
Нагадаємо, що кутовий вектор імпульсу\({\bf L}\),, визначається
\ почати {рівняння}\ mathbf {L} =\ mathbf {r}\ раз\ mathbf {p}\ кінець {рівняння}
[Див. Рівняння ([e8.0]).] Цей вираз також можна записати в наступному вигляді: \[\label{e9.6} L_i = \epsilon_{ijk}\,x_j\,p_k.\]Тут\(\epsilon_{ijk}\) (де\(i,j,k\) все біжать від 1 до 3) є елементами так званого повністю антисиметричного тензора. Значення різних елементів цього тензора визначаються за допомогою простого правила:\ begin {рівняння}\ epsilon_ {i j k} =\ left\ {\ begin {масив} {cl}
0 &\ text {if} i, j, k\ text {не всі різні}\\
1 &\ text {якщо} i, j, k\ text {циклічні перестановки} 1, 2,3\\
-1 &\ text {якщо} i, j, k\ text {є антициклічними перестановками} 1,2,3
\ end {масив}\ право. \ end {рівняння} Таким чином\(\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=1\)\(\epsilon_{321}=\epsilon_{132}=-1\),,\(\epsilon_{112}=\epsilon_{131}=0\), і, і так далі. Рівняння ([e9.6]) також використовує угоду про підсумовування Ейнштейна, згідно з якою повторювані індекси підсумовуються (від 1 до 3). Наприклад,\(a_i\,b_i\equiv a_1\,b_1+a_2\,b_2+a_3\,b_3\). Використовуючи цю конвенцію, а також рівняння ([e9.7]), легко помітити, що рівняння ([e9.5]) і ([e9.6]) дійсно еквівалентні.
Обчислимо значення за\(L^2\) допомогою Equation ([e9.6]). Згідно з нашими новими позначеннями,\(L^2\) це те ж саме, що і\(L_i\,L_i\). Таким чином, ми отримуємо\[\label{e9.8} L^2 = \epsilon_{ijk}\,x_j\,p_k\,\epsilon_{ilm}\,x_l\,p_m = \epsilon_{ijk}\,\epsilon_{ilm}\,x_j\,p_k\,x_l\,p_m.\] Примітка, що ми можемо зрушити позицію,\(\epsilon_{ilm}\) тому що його елементи є лише числами, і, отже, їздити на роботу з усіма\(x_i\) і\(p_i\). Тепер легко продемонструвати,\(\delta_{ij}\) що\[\label{e9.9} \epsilon_{ijk}\,\epsilon_{ilm}\equiv \delta_{jl}\,\delta_{km}-\delta_{jm}\,\delta_{kl}.\] ось звичайна дельта Кронекера, елементи якої визначаються за правилом\ begin {рівняння}\ delta_ {i j} =\ left\ {\ begin {array} {ll}
1 &\ text {if} i\ text {і} j\ text {той же}\\
0 &\ текст {якщо} i\ текст {і} j\ текст {інший}
\ end {масив}\ право. \ end {рівняння} Випливає з Рівняння ([e9.8]) і ([e9.9]), що\[\label{e9.11} L^2 = x_i\,p_j\,x_i\,p_j - x_i\,p_j\,x_j\,p_i.\] тут ми використали досить очевидний результат, що\(\delta_{ij}\,a_i\,b_j \equiv a_i\,b_i\). Ми також були обережні, щоб зберегти порядок різних термінів на правій стороні попереднього виразу, тому що\(x_i\) і\(p_i\) не обов'язково їздити один з одним.
Тепер нам потрібно змінити порядок термінів у правій частині Рівняння ([e9.11]). Ми можемо досягти цієї мети, використовуючи фундаментальне співвідношення комутації для\(x_i\) і\(p_i\):\[\label{e9.12} [x_i,p_j] = {\rm i}\,\hbar\,\delta_{ij}.\] [Див Рівняння ([commxp]).] Таким чином,\[\begin{aligned} L^2 &= x_i\left(x_i\,p_j - [x_i,p_j]\right) p_j - x_i\,p_j\,\left(p_i\,x_j+[x_j,p_i]\right)\nonumber\\[0.5ex] &=x_i\,x_i\,p_j\,p_j - {\rm i}\,\hbar\,\delta_{ij}\,x_i\,p_j -x_i\,p_j\,p_i\,x_j - {\rm i}\,\hbar\,\delta_{ij}\,x_i\,p_j\nonumber\\[0.5ex] &=x_i\,x_i\,p_j\,p_j -x_i\,p_i\,p_j\,x_j - 2\,{\rm i}\,\hbar\,x_i\,p_i.\end{aligned}\] Тут, ми скористалися тим\(p_j\,p_i=p_i\,p_j\), що, тому що\(p_i\) коммутіруют один з одним. [Див. Рівняння ([compp]).] Далі,\[L^2 = x_i\,x_i\,p_j\,p_j - x_i\,p_i\left(x_j\,p_j - [x_j,p_j]\right) - 2\,{\rm i}\,\hbar\,x_i\,p_i.\] Тепер, відповідно до Рівняння ([e9.12]),\[[x_j,p_j]\equiv [x_1,p_1]+[x_2,p_2]+[x_3,p_3] = 3\,{\rm i}\,\hbar.\] Отже, ми отримуємо\[L^2 = x_i\,x_i\,p_j\,p_j - x_i\,p_i\,x_j\,p_j + {\rm i}\,\hbar\,x_i\,p_i.\] Коли виражається в більш умовних векторних позначеннях, попередній вираз стає\[\label{e9.17} L^2 = r^{\,2}\,p^{\,2} - ({\bf r}\cdot{\bf p})^2 + {\rm i}\,\hbar\,{\bf r}\cdot{\bf p}.\] Зверніть увагу, що якби ми намагалися вивести попередній вираз безпосередньо з Рівняння ([e 9.5]), використовуючи стандартні векторні ідентичності, тоді ми б пропустили останній термін праворуч. Цей термін походить від відсутності комутації між\(p_i\) операторами\(x_i\) та у квантовій механіці. Звичайно, стандартний векторний аналіз передбачає, що всі терміни комутують один з одним.
Рівняння ([e9.17]) можна переставити, щоб дати\[p^{\,2} = r^{\,-2}\left[({\bf r}\cdot{\bf p})^2- {\rm i}\,\hbar\,{\bf r}\cdot{\bf p}+L^2\right].\] Тепер,\[{\bf r}\cdot{\bf p} = r\,p_r = -{\rm i}\,\hbar\,r\,\frac{\partial}{\partial r},\] де було використано рівняння ([e9.4]). Отже, ми отримуємо\[p^{\,2} = -\hbar^{\,2}\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\,\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}- \frac{L^2}{\hbar^{\,2}\,r^{\,2}}\right].\] Нарешті, попереднє рівняння можна об'єднати з рівнянням ([e9.2]), щоб дати наступний вираз для гамільтоніана:\[\label{e9.21} H = -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\left(\frac{\partial^{\,2}}{\partial r^{\,2}} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}- \frac{L^2}{\hbar^{\,2}\,r^{\,2}}\right) +V(r).\]
Розглянемо тепер, чи переходить попередній гамільтоніан з операторами моменту моменту\(L_z\) і\(L^2\). Нагадаємо, з розділу [s8.3], що\(L_z\) і\(L^2\) представлені у вигляді диференціальних операторів, які залежать виключно від кутових сферичних координат\(\phi\),\(\theta\) і, і не містять радіальної координати,\(r\). Таким чином, будь-яка функція\(r\), або будь-який диференціальний оператор за участю\(r\) (але не\(\theta\) і\(\phi\)), буде автоматично комутувати з\(L^2\) і\(L_z\). Причому,\(L^2\) їздить як з собою, так і з\(L_z\). (Див. Розділ [s8.2].) Тому зрозуміло, що попередній гамільтоніан їздить з обома\(L_z\) і\(L^2\).
Згідно з Розділом [smeas], якщо два оператори їздять один з одним, то вони мають одночасні власні стани. Таким чином, робиться висновок, що для частинки, що рухається в центральному потенціалі, власні стани гамільтоніана є одночасними власними станами\(L_z\) і\(L^2\). Тепер ми вже знайшли одночасні власні\(L_z\) стани і\(L^2\) —це сферичні гармоніки\(Y_{l,m}(\theta,\phi)\), розглянуті в розділі [шарм]. Звідси випливає, що сферичні гармоніки також є власнимистанами гамільтоніана. Це спостереження змушує нас спробувати наступну відокремлювану форму для стаціонарної хвильової функції:\[\label{e9.22} \psi(r,\theta,\phi) = R(r)\,Y_{l,m}(\theta,\phi).\] Це відразу випливає, з Рівняння ([e8.29]) і ([e8.30]), і той факт, що\(L_z\) і\(L^2\) обидва очевидно комутують з\(R(r)\), що\[\begin{aligned} L_z\,\psi &= m\,\hbar\,\psi,\\[0.5ex] L^2\,\psi&= l\,(l+1)\,\hbar^{\,2}\,\psi.\label{e9.24}\end{aligned}\] Відкликати що квантові числа\(m\) і\(l\) обмежуються прийняттям певних цілих значень, як пояснено в розділі [slsq].
Нарешті, використовуючи рівняння ([e9.1]), ([e9.21]) та ([e9.24]), ми отримуємо наступне диференціальне рівняння, яке визначає радіальну зміну стаціонарної хвильової функції:\[-\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\left[\frac{d^{\,2}}{d r^{\,2}} + \frac{2}{r}\frac{d}{d r}- \frac{l\,(l+1)}{r^{\,2}}\right]R_{n,l} +V\,R_{n,l} = E\,R_{n,l}.\] Тут ми позначили функцію двома\(R(r)\) квантовими числами, \(n\)і\(l\). Друге квантове число\(l\),, звичайно, пов'язане з власним значенням\(L^2\). [Зверніть увагу, що азимутальне квантове число\(m\), не фігурує в попередньому рівнянні, і, отже, не впливає ні на функцію,\(R(r)\) ні на енергію,\(E\).] Як ми побачимо, перше квантове число визначається обмеженням\(n\), що радіальна хвильова функція бути інтегрованою за квадратом.