3.4: Теорема Еренфеста

Простим способом обчислення очікуваного значення імпульсу є оцінка похідної за часом$\langle x\rangle$, а потім множення на масу$m$: тобто

$$\label{e4.34x} \langle p \rangle = m\,\frac{d\langle x\rangle}{dt} = m\,\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}x\,|\psi|^{\,2}\,dx =m \int_{-\infty}^{\infty}x\,\frac{\partial|\psi|^{\,2}}{\partial t}\,dx.$$

Однак легко продемонструвати, що

$$\label{ediffp} \frac{\partial|\psi|^{\,2}}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0$$

[це лише диференціальна форма Рівняння ([epc])], де$j$ є струм ймовірності, визначений у Рівнянні ([eprobc]). Таким чином,

$$\langle p\rangle = -m\int_{-\infty}^{\infty} x\,\frac{\partial j}{\partial x}\,dx = m\int_{-\infty}^{\infty}j\,dx,$$

де ми інтегрували по частинам. З Рівняння ([eprobc]) випливає, що

$$\langle p\rangle = - \frac{{\rm i}\,\hbar}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\partial\psi^\ast}{\partial x}\,\psi\right)dx = - {\rm i}\,\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\,dx,$$

де ми знову інтегрували по частинам. Значить, очікуване значення імпульсу можна записати.

$$\label{e3.38} \langle p\rangle = m\,\frac{d\langle x\rangle}{dt}= - {\rm i}\,\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\,dx.$$

З попереднього рівняння випливає, що

$$\begin{aligned} \frac{d\langle p\rangle}{dt} = -{\rm i}\,\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{\partial\psi^\ast}{\partial t}\,\frac{\partial\psi}{\partial x} + \psi^\ast\,\frac{\partial^{\,2}\psi}{\partial t\,\partial x}\right)dx= \int_{-\infty}^{\infty}\left[ \left({\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)^\ast\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial\psi^\ast}{\partial x}\left({\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)\right]dx,\end{aligned}$$ там, де ми інтегрували частинами. Підставляючи з рівняння Шредінгера ([e3.1]) і спрощуючи, ми отримуємо $$\frac{d\langle p\rangle}{dt} = \int_{-\infty}^{\infty} \left[-\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial\psi^{\ast}}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) + V(x)\,\frac{\partial |\psi|^{\,2}}{\partial x}\right]dx = \int_{-\infty}^{\infty} V(x)\,\frac{\partial |\psi|^{\,2}}{\partial x}\,dx.$$ Інтеграція по частинам виходів $$\label{e3.41} \frac{d\langle p\rangle}{dt} =-\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dV}{dx}\,|\psi|^{\,2}\,dx =- \left\langle \frac{dV}{dx}\right\rangle.$$

Отже, згідно з рівняннями ([e4.34x]) і ([e3.41]),

$$\begin{aligned} \label{e3.42} m\,\frac{d\langle x\rangle}{dt}&= \langle p\rangle,\\[0.5ex] \frac{d\langle p\rangle}{dt} &= -\left\langle \frac{dV}{dx}\right\rangle.\label{e3.43}\end{aligned}$$ Очевидно, що очікувані значення зміщення та імпульсу підкоряються рівнянням еволюції часу, аналогічним рівнянням класичної механіки. Цей результат відомий як теорема Еренфеста.

Припустимо,$V(x)$ що потенціал повільно змінюється. У цьому випадку ми можемо розширити$dV/dx$ як серіал Тейлора о$\langle x\rangle$. Зберігаючи терміни до другого замовлення, отримуємо

$$\frac{dV(x)}{dx} = \frac{dV(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle} + \frac{dV^{\,2}(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle^{\,2}}\,(x-\langle x\rangle) + \frac{1}{2}\,\frac{dV^{\,3}(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle^3}\,(x-\langle x\rangle)^{\,2}.$$

Заміна попереднього розширення на Рівняння ([e3.43]) дає

$$\frac{d\langle p\rangle}{dt} = - \frac{dV(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle} - \frac{\sigma_x^{\,2}}{2}\,\frac{dV^{\,3}(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle^{\,3}},$$ тому що$\langle 1\rangle =1$, і$\langle x-\langle x\rangle\rangle = 0$, і$\langle (x-\langle x\rangle)^{\,2}\rangle = \sigma_x^{\,2}$. Кінцевим терміном на правій стороні попереднього рівняння можна знехтувати, коли просторова протяжність хвильової функції частинки$\sigma_x$, набагато менша, ніж варіація довжини шкали потенціалу. У цьому випадку Рівняння ([e3.42]) і ([e3.43]) зводяться до $$\begin{aligned} m\,\frac{d\langle x\rangle}{dt}&= \langle p\rangle,\\[0.5ex] \frac{d\langle p\rangle}{dt} &= -\frac{dV(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle}.\end{aligned}$$ Ці рівняння точно еквівалентні рівнянням класичної механіки,$\langle x\rangle$ граючи роль переміщення частинок. Звичайно, якщо просторова ступінь хвильової функції незначна, то вимірювання майже напевно дасть результат, який лежить дуже близько до$\langle x\rangle$.$x$ Отже, ми робимо висновок, що квантова механіка відповідає класичній механіці в тій межі, що просторова протяжність хвильової функції (яка, як правило, в порядку довжини хвилі де Боля) незначна. Це важливий результат, адже ми знаємо, що класична механіка дає правильну відповідь в цій межі.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick