3.4: Теорема Еренфеста

Простим способом обчислення очікуваного значення імпульсу є оцінка похідної за часом\(\langle x\rangle\), а потім множення на масу\(m\): тобто

\[\label{e4.34x} \langle p \rangle = m\,\frac{d\langle x\rangle}{dt} = m\,\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}x\,|\psi|^{\,2}\,dx =m \int_{-\infty}^{\infty}x\,\frac{\partial|\psi|^{\,2}}{\partial t}\,dx.\]

Однак легко продемонструвати, що

\[\label{ediffp} \frac{\partial|\psi|^{\,2}}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0\]

[це лише диференціальна форма Рівняння ([epc])], де\(j\) є струм ймовірності, визначений у Рівнянні ([eprobc]). Таким чином,

\[\langle p\rangle = -m\int_{-\infty}^{\infty} x\,\frac{\partial j}{\partial x}\,dx = m\int_{-\infty}^{\infty}j\,dx,\]

де ми інтегрували по частинам. З Рівняння ([eprobc]) випливає, що

\[\langle p\rangle = - \frac{{\rm i}\,\hbar}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\partial\psi^\ast}{\partial x}\,\psi\right)dx = - {\rm i}\,\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\,dx,\]

де ми знову інтегрували по частинам. Значить, очікуване значення імпульсу можна записати.

\[\label{e3.38} \langle p\rangle = m\,\frac{d\langle x\rangle}{dt}= - {\rm i}\,\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\,dx.\]

З попереднього рівняння випливає, що\[\begin{aligned} \frac{d\langle p\rangle}{dt} = -{\rm i}\,\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{\partial\psi^\ast}{\partial t}\,\frac{\partial\psi}{\partial x} + \psi^\ast\,\frac{\partial^{\,2}\psi}{\partial t\,\partial x}\right)dx= \int_{-\infty}^{\infty}\left[ \left({\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)^\ast\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial\psi^\ast}{\partial x}\left({\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)\right]dx,\end{aligned}\] там, де ми інтегрували частинами. Підставляючи з рівняння Шредінгера ([e3.1]) і спрощуючи, ми отримуємо\[\frac{d\langle p\rangle}{dt} = \int_{-\infty}^{\infty} \left[-\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial\psi^{\ast}}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) + V(x)\,\frac{\partial |\psi|^{\,2}}{\partial x}\right]dx = \int_{-\infty}^{\infty} V(x)\,\frac{\partial |\psi|^{\,2}}{\partial x}\,dx.\] Інтеграція по частинам виходів\[\label{e3.41} \frac{d\langle p\rangle}{dt} =-\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dV}{dx}\,|\psi|^{\,2}\,dx =- \left\langle \frac{dV}{dx}\right\rangle.\]

Отже, згідно з рівняннями ([e4.34x]) і ([e3.41]),

\[\begin{aligned} \label{e3.42} m\,\frac{d\langle x\rangle}{dt}&= \langle p\rangle,\\[0.5ex] \frac{d\langle p\rangle}{dt} &= -\left\langle \frac{dV}{dx}\right\rangle.\label{e3.43}\end{aligned}\]Очевидно, що очікувані значення зміщення та імпульсу підкоряються рівнянням еволюції часу, аналогічним рівнянням класичної механіки. Цей результат відомий як теорема Еренфеста.

Припустимо,\(V(x)\) що потенціал повільно змінюється. У цьому випадку ми можемо розширити\(dV/dx\) як серіал Тейлора о\(\langle x\rangle\). Зберігаючи терміни до другого замовлення, отримуємо

\[\frac{dV(x)}{dx} = \frac{dV(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle} + \frac{dV^{\,2}(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle^{\,2}}\,(x-\langle x\rangle) + \frac{1}{2}\,\frac{dV^{\,3}(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle^3}\,(x-\langle x\rangle)^{\,2}.\]

Заміна попереднього розширення на Рівняння ([e3.43]) дає\[\frac{d\langle p\rangle}{dt} = - \frac{dV(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle} - \frac{\sigma_x^{\,2}}{2}\,\frac{dV^{\,3}(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle^{\,3}},\] тому що\(\langle 1\rangle =1\), і\(\langle x-\langle x\rangle\rangle = 0\), і\(\langle (x-\langle x\rangle)^{\,2}\rangle = \sigma_x^{\,2}\). Кінцевим терміном на правій стороні попереднього рівняння можна знехтувати, коли просторова протяжність хвильової функції частинки\(\sigma_x\), набагато менша, ніж варіація довжини шкали потенціалу. У цьому випадку Рівняння ([e3.42]) і ([e3.43]) зводяться до\[\begin{aligned} m\,\frac{d\langle x\rangle}{dt}&= \langle p\rangle,\\[0.5ex] \frac{d\langle p\rangle}{dt} &= -\frac{dV(\langle x\rangle)}{d\langle x\rangle}.\end{aligned}\] Ці рівняння точно еквівалентні рівнянням класичної механіки,\(\langle x\rangle\) граючи роль переміщення частинок. Звичайно, якщо просторова ступінь хвильової функції незначна, то вимірювання майже напевно дасть результат, який лежить дуже близько до\(\langle x\rangle\).\(x\) Отже, ми робимо висновок, що квантова механіка відповідає класичній механіці в тій межі, що просторова протяжність хвильової функції (яка, як правило, в порядку довжини хвилі де Боля) незначна. Це важливий результат, адже ми знаємо, що класична механіка дає правильну відповідь в цій межі.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick