3.5: Оператори

Оператор,$O$ (скажімо), це математична сутність, яка перетворює одну функцію в іншу: тобто

$$O(f(x))\rightarrow g(x).$$ Наприклад,$x$ є оператором, тому що$x\,f(x)$ є іншою функцією to$f(x)$, і повністю$f(x)$ вказано один раз. Крім того, також$d/dx$ є оператором, тому що$df(x)/dx$ це інша функція to$f(x)$, і повністю$f(x)$ вказана один раз. Тепер,

$$x\,\frac{df}{dx} \neq \frac{d}{dx}\left(x\,f\right).$$ Це також може бути записано, $$x\,\frac{d}{dx} \neq \frac{d}{dx}\,x,$$ де передбачається, що оператори діють на все праворуч, і$f(x)$ розуміється фінал [де$f(x)$ загальна функція]. Попередній вираз ілюструє важливий момент. А саме, взагалі, оператори не їздять один з одним. Звичайно, деякі оператори роблять поїздки на роботу. Наприклад,

$$x\,x^{\,2} = x^{\,2}\,x.$$ Нарешті, оператор$O$, називається лінійним, якщо $$O(c\,f(x)) =c\,O(f(x)),$$ де$f$ загальна функція, і$c$ загальне комплексне число. Всі оператори, що використовуються в квантовій механіці, є лінійними.

Тепер, з Рівняння ([e3.22]) і ([e3.38]),

$$\begin{aligned} \langle x\rangle &=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^\ast\,x\,\psi\,dx,\\[0.5ex] \langle p\rangle &= \int_{-\infty}^{\infty}\psi^{\ast}\left(-{\rm i}\,\hbar\, \frac{\partial}{\partial x}\right)\psi\,dx.\end{aligned}$$

Ці вирази припускають ряд речей. По-перше, класичні динамічні змінні, такі як$x$ і$p$, представлені в квантовій механіці лінійними операторами, які діють на хвильову функцію. По-друге, зсув представлений алгебраїчним оператором$x$, а імпульс - диференціальним оператором$-{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x$: тобто\ [\ label {e3.54} p\ equiv - {\ rm i}\,\ hbar\,\ frac {\ partial} {\ partial x}.\]

Нарешті, очікуване значення деякої динамічної змінної, представленої оператором$O(x)$, просто $$\label{e3.55} \langle O \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\psi^\ast(x,t)\,O(x)\,\psi(x,t)\,dx.$$

Зрозуміло, що якщо оператор повинен представляти динамічну змінну, яка має фізичне значення, то його очікуване значення має бути реальним. Іншими словами, якщо оператор$O$ представляє фізичну змінну, то ми вимагаємо$\langle O\rangle = \langle O \rangle^\ast$, що, або $$\label{e3.55a} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast\,(O\,\psi)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}(O\,\psi)^\ast\,\psi\,dx,$$

де$O^\ast$ - складний сполучений з$O$. Оператор, який задовольняє попередньому обмеженню, називається ермітовим оператором. Легко продемонструвати, що$x$ і$p$ є обидва Ерміціанські. $O^\dagger$Ермітієвий кон'югат загального оператора визначається наступним чином:$O$

$$\label{e5.48} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast} \,(O\,\psi)\,dx=\int_{-\infty}^\infty (O^\dagger\,\psi)^\ast\,\psi\,dx.$$ Ермітієвий кон'югат ермітового оператора такий же, як і сам оператор: тобто,$p^\dagger = p$. Для не-ермітієвого оператора,$O$ (скажімо), це легко$(O^\dagger)^\dagger=O$ продемонструвати, що, і$O+O^\dagger$ що оператор Ерміт. Нарешті, якщо$A$ і$B$ два оператори, то$(A\,B)^\dagger = B^\dagger\,A^\dagger$.

Припустимо, що ми хочемо знайти оператор, який відповідає класичній динамічній змінній$x\,p$. У класичній механіці немає різниці між$x\,p$ і$p\,x$. Однак у квантовій механіці ми це вже бачили$x\,p\neq p\,x$. Отже, чи варто вибирати$x\,p$ чи$p\,x$? Власне, жодна з цих комбінацій не є Ермітіаном. Однак$(1/2)\,[x\,p + (x\,p)^\dagger]$ є Ерміціан. Тим більше$(1/2)\,[x\,p + (x\,p)^\dagger]=(1/2)\,(x\,p+p^\dagger\,x^\dagger)=(1/2)\,(x\,p+p\,x)$, що акуратно вирішує нашу проблему порядку, в якому розміщувати$x$ і$p$.

Розумним є припущення, що оператор, відповідний енергії (який називається гамільтоном, і умовно позначається$H$) приймає вигляд $$H \equiv \frac{p^{\,2}}{2\,m} + V(x).$$ Note$H$ тобто Ермітіан. Тепер з Рівняння ([e3.54]) випливає, що $$H \equiv -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\,\frac{\partial^{\,2}}{\partial x^{\,2}} + V(x).$$ Однак, згідно з рівнянням Шредінгера, ([e3.1]), ми маємо $$-\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\,\frac{\partial^{\,2}}{\partial x^{\,2}} + V(x) = {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial t},$$ так. $$H \equiv {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}.$$ Таким чином, можна записати залежне від часу рівняння Шредінгера $$\label{etimed} {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = H\,\psi.$$

Нарешті, якщо$O(x,p,E)$ класична динамічна змінна, яка є функцією переміщення, імпульсу та енергії, то розумним припущенням для відповідного оператора в квантовій механіці є$(1/2)\,[O(x,p,H)+ O^\dagger(x,p,H)]$, де$p=-{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x$, і$H={\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial t$.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick