3.5: Оператори
- Page ID
- 76973
Оператор,\(O\) (скажімо), це математична сутність, яка перетворює одну функцію в іншу: тобто
\[O(f(x))\rightarrow g(x).\]Наприклад,\(x\) є оператором, тому що\(x\,f(x)\) є іншою функцією to\(f(x)\), і повністю\(f(x)\) вказано один раз. Крім того, також\(d/dx\) є оператором, тому що\(df(x)/dx\) це інша функція to\(f(x)\), і повністю\(f(x)\) вказана один раз. Тепер,
\[x\,\frac{df}{dx} \neq \frac{d}{dx}\left(x\,f\right).\]Це також може бути записано,\[x\,\frac{d}{dx} \neq \frac{d}{dx}\,x,\] де передбачається, що оператори діють на все праворуч, і\(f(x)\) розуміється фінал [де\(f(x)\) загальна функція]. Попередній вираз ілюструє важливий момент. А саме, взагалі, оператори не їздять один з одним. Звичайно, деякі оператори роблять поїздки на роботу. Наприклад,
\[x\,x^{\,2} = x^{\,2}\,x.\]Нарешті, оператор\(O\), називається лінійним, якщо\[O(c\,f(x)) =c\,O(f(x)),\] де\(f\) загальна функція, і\(c\) загальне комплексне число. Всі оператори, що використовуються в квантовій механіці, є лінійними.
Тепер, з Рівняння ([e3.22]) і ([e3.38]),
\[\begin{aligned} \langle x\rangle &=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^\ast\,x\,\psi\,dx,\\[0.5ex] \langle p\rangle &= \int_{-\infty}^{\infty}\psi^{\ast}\left(-{\rm i}\,\hbar\, \frac{\partial}{\partial x}\right)\psi\,dx.\end{aligned}\]
Ці вирази припускають ряд речей. По-перше, класичні динамічні змінні, такі як\(x\) і\(p\), представлені в квантовій механіці лінійними операторами, які діють на хвильову функцію. По-друге, зсув представлений алгебраїчним оператором\(x\), а імпульс - диференціальним оператором\(-{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x\): тобто\ [\ label {e3.54} p\ equiv - {\ rm i}\,\ hbar\,\ frac {\ partial} {\ partial x}.\]
Нарешті, очікуване значення деякої динамічної змінної, представленої оператором\(O(x)\), просто\[\label{e3.55} \langle O \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\psi^\ast(x,t)\,O(x)\,\psi(x,t)\,dx.\]
Зрозуміло, що якщо оператор повинен представляти динамічну змінну, яка має фізичне значення, то його очікуване значення має бути реальним. Іншими словами, якщо оператор\(O\) представляє фізичну змінну, то ми вимагаємо\(\langle O\rangle = \langle O \rangle^\ast\), що, або\[\label{e3.55a} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast\,(O\,\psi)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}(O\,\psi)^\ast\,\psi\,dx,\]
де\(O^\ast\) - складний сполучений з\(O\). Оператор, який задовольняє попередньому обмеженню, називається ермітовим оператором. Легко продемонструвати, що\(x\) і\(p\) є обидва Ерміціанські. \(O^\dagger\)Ермітієвий кон'югат загального оператора визначається наступним чином:\(O\)
\[\label{e5.48} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast} \,(O\,\psi)\,dx=\int_{-\infty}^\infty (O^\dagger\,\psi)^\ast\,\psi\,dx.\]Ермітієвий кон'югат ермітового оператора такий же, як і сам оператор: тобто,\(p^\dagger = p\). Для не-ермітієвого оператора,\(O\) (скажімо), це легко\((O^\dagger)^\dagger=O\) продемонструвати, що, і\(O+O^\dagger\) що оператор Ерміт. Нарешті, якщо\(A\) і\(B\) два оператори, то\((A\,B)^\dagger = B^\dagger\,A^\dagger\).
Припустимо, що ми хочемо знайти оператор, який відповідає класичній динамічній змінній\(x\,p\). У класичній механіці немає різниці між\(x\,p\) і\(p\,x\). Однак у квантовій механіці ми це вже бачили\(x\,p\neq p\,x\). Отже, чи варто вибирати\(x\,p\) чи\(p\,x\)? Власне, жодна з цих комбінацій не є Ермітіаном. Однак\((1/2)\,[x\,p + (x\,p)^\dagger]\) є Ерміціан. Тим більше\((1/2)\,[x\,p + (x\,p)^\dagger]=(1/2)\,(x\,p+p^\dagger\,x^\dagger)=(1/2)\,(x\,p+p\,x)\), що акуратно вирішує нашу проблему порядку, в якому розміщувати\(x\) і\(p\).
Розумним є припущення, що оператор, відповідний енергії (який називається гамільтоном, і умовно позначається\(H\)) приймає вигляд\[H \equiv \frac{p^{\,2}}{2\,m} + V(x).\] Note\(H\) тобто Ермітіан. Тепер з Рівняння ([e3.54]) випливає, що\[H \equiv -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\,\frac{\partial^{\,2}}{\partial x^{\,2}} + V(x).\] Однак, згідно з рівнянням Шредінгера, ([e3.1]), ми маємо\[-\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\,\frac{\partial^{\,2}}{\partial x^{\,2}} + V(x) = {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial t},\] так.\[H \equiv {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}.\] Таким чином, можна записати залежне від часу рівняння Шредінгера\[\label{etimed} {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = H\,\psi.\]
Нарешті, якщо\(O(x,p,E)\) класична динамічна змінна, яка є функцією переміщення, імпульсу та енергії, то розумним припущенням для відповідного оператора в квантовій механіці є\((1/2)\,[O(x,p,H)+ O^\dagger(x,p,H)]\), де\(p=-{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x\), і\(H={\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial t\).