3.8: Власні стани та власні значення
- Page ID
- 76972
Розглянемо загальний оператор реального простору,\(A(x)\). Коли цей оператор діє на загальну хвильову функцію\(\psi(x)\), результатом зазвичай є хвильова функція з абсолютно іншою формою. Однак існують певні спеціальні хвильові функції, які такі, що при\(A\) впливі на них результат просто кратний вихідної хвильової функції. Ці спеціальні хвильові функції називаються власними станами, а кратні називаються власними значеннями. Таким чином, якщо \[\label{e3.107} A\,\psi_a(x) = a\,\psi_a(x),\]де\(a\) - комплексне число, то\(\psi_a\) називається власним станом,\(A\) відповідним власному значенню\(a\).
Припустимо, що\(A\) це ермітієвий оператор, що відповідає деякій фізичній динамічній змінній. Розглянемо частинку, хвильова функція якої є\(\psi_a\). Очікування значення\(A\) в цьому стані просто [див. Рівняння ([e3.55])],\[\langle A\rangle = \int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast}\,A\,\psi_a\,dx = a\,\int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast}\,\psi_a\,dx =a,\] де було використано Рівняння ([e3.107]) та умова нормалізації ([e3.4]). Більше того,\[\langle A^2\rangle = \int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast}\,A^2\,\psi_a\,dx = a\,\int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast}\,A\,\psi_a\,dx =a^{\,2}\,\int_{-\infty}^\infty \psi_a^{\ast}\,\psi_a\,dx =a^{\,2},\] таким чином дисперсія\(A\) є [пор., Рівняння ([e3.24a])]\[\sigma_A^{\,2} = \langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2 = a^{\,2}-a^{\,2} = 0.\] Той факт, що дисперсія дорівнює нулю означає, що\(A\) кожне вимірювання зобов'язане дати той самий результат: а саме,\(a\). Таким чином, власний стан\(\psi_a\) - це стан, який пов'язаний з унікальним значенням динамічної змінної, відповідної\(A\). Це унікальне значення є просто пов'язаним власним значенням.
Легко продемонструвати, що власні значення ермітієвого оператора є реальними. Нагадаємо [з Рівняння ([e3.84])], що оператор Ерміта задовольняє \[\label{e3.111} \int_{-\infty}^\infty \psi_1^\ast\,(A\,\psi_2)\,dx = \int_{-\infty}^\infty (A\,\psi_1)^\ast\,\psi_2\,dx.\]Отже, якщо\(\psi_1=\psi_2=\psi_a\) тоді,\[\int_{-\infty}^\infty \psi_a^\ast\,(A\,\psi_a)\,dx = \int_{-\infty}^\infty (A\,\psi_a)^\ast\,\psi_a\,dx,\] що зводиться до [див. Рівняння ([e3.107])],\[a=a^\ast,\] припускаючи, що\(\psi_a\) це правильно нормалізовано.
Дві хвильові функції\(\psi_2(x)\),\(\psi_1(x)\) і, як кажуть, ортогональні, якщо\[\int_{-\infty}^{\infty}\psi_1^\ast\,\psi_2\,dx = 0.\] Розглянемо два власні\(\psi_a\) стани\(A\), і\(\psi_{a'}\), які відповідають двом різним власним значенням\(a\) і\(a'\), відповідно. Таким чином,\[\begin{aligned} A\,\psi_a&= a\,\psi_a,\\[0.5ex] A\,\psi_{a'}&= a'\,\psi_{a'}.\end{aligned}\] Помноживши комплексний спряжений першого рівняння на\(\psi_{a'}\), а друге рівняння на\(\psi_a^\ast\), а потім інтегруючи по всьому\(x\), отримаємо\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty (A\,\psi_a)^\ast\,\psi_{a'}\,dx&= a\,\int_{-\infty}^\infty\psi_a^\ast\,\psi_{a'}\,dx,\\[0.5ex] \int_{-\infty}^\infty \psi_a^\ast\,(A\,\psi_{a'})\,dx&= a'\,\int_{-\infty}^{\infty}\psi_a^\ast\,\psi_{a'}\,dx.\end{aligned}\] Однак з Рівняння ([e3.111]) ліві сторони двох попередніх рівнянь рівні. Отже, ми можемо написати\[(a-a')\, \int_{-\infty}^\infty\psi_a^\ast\,\psi_{a'}\,dx = 0.\] За припущенням\(a\neq a'\), що дає\[\int_{-\infty}^\infty\psi_a^\ast\,\psi_{a'}\,dx = 0.\] Іншими словами власні стани ермітієвого оператора, що відповідають різним власним значенням, автоматично ортогональні.
Розглянемо два власні\(\psi_a\) стани\(A\), і\(\psi_a'\), які відповідають одному і тому ж власному значенню,\(a\). Такі власні стани називаються виродженими. Попереднє доказ ортогональності різних власних станів не вдається для вироджених власних станів. Однак зауважте, що будь-яка лінійна комбінація\(\psi_a\) і також\(\psi_a'\) є власним станом,\(A\) відповідним власному значенню\(a\). Таким чином, навіть якщо\(\psi_a\) і не\(\psi_a'\) є ортогональними, ми завжди можемо вибрати дві лінійні комбінації цих власних станів, які є ортогональними. Наприклад, якщо\(\psi_a\) і належним чином\(\psi_a'\) нормалізуються, а\[\int_{-\infty}^\infty \psi_a^\ast\,\psi_a'\,dx = c,\] потім легко продемонструвати, що\[\psi_a'' = \frac{|c|}{\sqrt{1-|c|^2}}\left(\psi_a - c^{-1}\,\psi_a'\right)\] є правильно нормованим власним станом\(A\), відповідним власному значенню\(a\), тобто ортогональним до\(\psi_a\). Неважко узагальнити попередній аргумент до трьох або більше вироджених власних станів. Звідси робимо висновок, що власні стани ермітієвого оператора є або можуть бути обрані взаємно ортогональними.
Також можна продемонструвати, що власні стани ермітієвого оператора утворюють повну множину: тобто будь-яку загальну хвильову функцію можна записати як лінійну комбінацію цих власних станів. Однак доказ є досить складним, і ми не будемо намагатися його тут.
Підсумовуючи, заданий ермітієвим оператором\(A\), будь-яка загальна хвильова функція\(\psi(x)\), може бути записана, \[\label{e3.123} \psi = \sum_{i}c_i\,\psi_i,\]де\(c_i\) є комплексні ваги, і належним чином\(\psi_i\) нормовані (і взаємно ортогональні) власні стани\(A\): тобто,\[A\,\psi_i = a_i\,\psi_i,\] де \(a_i\)є власним значенням, відповідним власному стану\(\psi_i\), і \[\label{e3.125} \int_{-\infty}^\infty \psi_i^\ast\,\psi_j \,dx = \delta_{ij}.\]Here,\(\delta_{ij}\) називається дельта-функцією Кронекера, і приймає значення одиниці, коли два його індекси рівні, і нуль в іншому випадку.
З Рівнянь ([e3.123]) і ([e3.125]) випливає, що \[\label{e3.126} c_i = \int_{-\infty}^\infty \psi_i^\ast\,\psi\,dx.\]таким чином, коефіцієнти розширення в Рівнянні ([e3.123]) легко визначаються, враховуючи хвильову функцію\(\psi\) і власні стани\(\psi_i\). Крім того, якщо\(\psi\) є правильно нормованою хвильовою функцією, то рівняння ([e3.123]) і ([e3.125]) дають \[\label{e3.127} \sum_i |c_i|^{\,2} =1.\]