3.3: Очікувані значення (середні значення) та відхилення

Ми бачили, що\(|\psi(x,t)|^{2}\) це щільність ймовірності вимірювання зміщення частинки, що дає значення\(x\) в часі\(t\). Припустимо, що ми робимо велику кількість незалежних вимірювань зміщення на однаково великій кількості однакових квантових систем. Загалом, вимірювання, зроблені на різних системах, дадуть різні результати. Однак з визначення ймовірності (див. Розділ [s2]) середнє значення всіх цих результатів просто

\[\label{e3.22} \langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x\,|\psi|^{2}\,dx.\]

Тут\(\langle x\rangle\) називається очікувана величина\(x\). (Див. Розділ [s2].) Аналогічно очікуване значення будь-якої\(x\) функції

\[\langle f(x)\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,|\psi|^{2}\,dx.\]

Загалом, результати різних різних вимірювань\(x\) будуть розкидані навколо очікуваного значення,\(\langle x\rangle\). Ступінь розкиду параметризується величиною

\[\label{e3.24a} \sigma^{2}_x = \int_{-\infty}^{\infty} \left(x-\langle x\rangle\right)^{2}\,|\psi|^{2}\,dx \equiv \langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle^{2},\]

який відомий як дисперсія\(x\). (Див. Розділ [s2].) Квадратний корінь цієї\(\sigma_x\) величини, називається стандартним відхиленням\(x\). (Див. Розділ [s2].) Ми, як правило, очікуємо, що результати вимірювань\(x\) лежать в межах декількох стандартних відхилень від очікуваного значення.

Наприклад, розглянемо нормалізований гаусовий хвильовий пакет [див. Рівняння ([eng])]

\[\label{e3.24} \psi(x) = \dfrac{ {\rm e}^{ \rm i \varphi} }{(2\pi\,\sigma^{2})^{1/4}} \, {\rm e}^{-(x-x_0)^{2}/(4\,\sigma^{2})}.\]

Очікуване значення\(x\) асоційованої з цією хвильовою функцією

\[\langle x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\,\sigma^{2}}}\int_{-\infty}^{\infty} x\,{\rm e}^{-(x-x_0)^{2}/(2\,\sigma^{2})}\,dx.\]

Нехай\(y=(x-x_0)/(\sqrt{2}\,\sigma)\). Звідси випливає, що

\[\langle x\rangle = \frac{x_0}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-y^{2}}\,dy+\frac{\sqrt{2}\,\sigma}{\sqrt{\pi}}\,\int_{-\infty}^{\infty}y\,{\rm e}^{-y^{2}}\,dy.\]

Однак другий інтеграл з правого боку дорівнює нулю, по симетрії. Отже, використовуючи Equation ([e3.8]), ми отримуємо\[\langle x\rangle =x_0.\] Очевидно, що очікуване значення\(x\) для гаусового хвильового пакету дорівнює найбільш ймовірному значенню\(x\) (тобто значення,\(x\) яке максимізує\(|\psi|^{2}\)).

Дисперсія\(x\) асоційованого з гаусовим хвильовим пакетом ([e3.24]) дорівнює

\[\sigma^{2}_x = \frac{1}{\sqrt{2\pi\,\sigma^{2}}}\int_{-\infty}^{\infty} (x-x_0)^{2}\,{\rm e}^{-(x-x_0)^{2}/(2\,\sigma^{2})}\,dx.\]

Нехай\(y=(x-x_0)/(\sqrt{2}\,\sigma)\). Звідси випливає, що

\[\sigma^{2}_x =\frac{2\,\sigma^{2}}{\sqrt{\pi}}\,\int_{-\infty}^{\infty} y^{2}\,{\rm e}^{-y^{2}}\,dy.\]

Однак,

\[\int_{-\infty}^{\infty} y^{2}\,{\rm e}^{-y^{2}}\,dy = \frac{\sqrt{\pi}}{2},\]

подача

\[\sigma_x^{2} = \sigma^{2}.\]

Цей результат узгоджується з нашою попередньою інтерпретацією\(\sigma\) як міри просторової протяжності хвильового пакету. (Див. Розділ [s2.9].) Звідси випливає, що ми можемо переписати гауссовий хвильовий пакет ([e3.24]) в зручному вигляді

\[\psi(x) = \frac{ {\rm e}^{\,{\rm i}\,\varphi} } {(2\pi\,\sigma_x^{2})^{1/4}}\,{\rm e}^{-(x-\langle x\rangle)^{2}/(4\,\sigma_x^{2})}.\]

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick