3.2: Нормалізація хвильової функції
- Page ID
- 76982
Тепер ймовірність - це дійсне число, що лежить між 0 і 1. Результат вимірювання, який має ймовірність 0, є неможливим результатом, тоді як результат, який має ймовірність 1, є певним результатом. Відповідно до Рівняння ([e3.2]), ймовірність вимірювання\(x\) отримання результату, що лежить між\(-\infty\) і\(+\infty\) є\[P_{x\,\in\, -\infty:\infty}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^{\,2}\,dx.\] Однак вимірювання\(x\) повинно дати значення, що лежить між\(-\infty\) і\(+\infty\), тому що частка повинна бути розташована десь. Звідси випливає\(P_{x\,\in\, -\infty:\infty}=1\), що, або \[\label{e3.4} \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^{\,2}\,dx = 1,\]який, як правило, відомий як умова нормалізації для хвильової функції.
Наприклад, припустимо, що ми хочемо нормалізувати хвильову функцію гаусового хвильового пакета, зосередженого на\(x=x_0\), і характерної ширини\(\sigma\) (див. Розділ [s2.9]): тобто, Для \[\label{e3.5} \psi(x) = \psi_0\,{\rm e}^{-(x-x_0)^{\,2}/(4\,\sigma^{\,2})}.\]того, щоб визначити константу нормалізації\(\psi_0\), ми просто підставляємо Рівняння ([e3.5]) в рівняння ([e3.4]) для отримання\[|\psi_0|^{\,2}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-(x-x_0)^{\,2}/(2\,\sigma^{\,2})}\,dx = 1.\] Змінюючи змінну інтеграції на\(y=(x-x_0)/(\sqrt{2}\,\sigma)\), ми отримуємо\[|\psi_0|^{\,2}\sqrt{2}\,\sigma\,\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-y^{\,2}}\,dy=1.\] Однак, з \[\label{e3.8} \int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-y^{\,2}}\,dy = \sqrt{\pi},\]чого випливає, що\[|\psi_0|^{\,2} = \frac{1}{(2\pi\,\sigma^{\,2})^{1/2}}.\]
Значить, загальна нормалізована гаусова хвильова функція набуває вигляду
\[\label{eng} \psi(x) = \frac{e^{i \ \varphi}}{(2\pi \ \sigma^2)^{1/4} } {e}^{-(x-x_0)^2/(4\,\sigma^2)},\]де\(\varphi\) - довільний реальний фаза-кут.
Важливо продемонструвати, що якщо хвильова функція спочатку нормалізується, вона залишається нормалізованою, оскільки вона розвивається в часі відповідно до рівняння Шредінгера. Якщо це не так, то імовірнісна інтерпретація хвильової функції є неспроможною, оскільки не має сенсу для ймовірності того, що вимірювання\(x\) дає будь-який можливий результат (який, очевидно, єдність) змінюється в часі. Отже, ми вимагаємо, щоб\[\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^{\,2} \,dx = 0,\] хвильові функції задовольняли рівняння Шредінгера. Попереднє рівняння дає
\[\label{e3.12} \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{\ast}\,\psi\,dx= \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\partial\psi^{\ast}}{\partial t}\,\psi +\psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)\,dx=0.\]Тепер, помноживши рівняння\(\psi^{\ast}/({\rm i}\,\hbar)\) Шредінгера на, отримаємо
\[\psi^{\ast} \ \frac{\partial \psi}{\partial t}= \frac{\rm i \ \hbar}{2 \ m}\ \psi^\ast \ \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{\rm i}{\hbar}\,V\,|\psi|^2.\]
Складний кон'югат цього виразу дає
\[\psi \ \frac{\partial\psi^\ast}{\partial t}= -\frac{ \rm i \ \hbar}{2 \ m}\,\psi \ \frac{\partial^2\psi^\ast}{\partial x^2} + \frac{i }{\hbar} \ V \ |\psi|^2\]
[тому що\((A\,B)^\ast = A^\ast\,B^{\,\ast}\)\(A^{\ast\,\ast}=A\), і\({\rm i}^ {\,\ast}= -{\rm i}\)].
Підсумовуючи попередні два рівняння, отримаємо
\[ \frac{\partial \psi^\ast}{\partial t} \psi + \psi^\ast \frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\rm i \hbar}{2 \ m} \bigg( \psi^\ast \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \psi \frac{\partial^2 \psi^\ast}{\partial t^2} \bigg) = \frac{\rm i \hbar}{2 \ m} \frac{\partial}{\partial x}\bigg( \psi^\ast \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^\ast}{\partial x}\bigg).\]
Рівняння ([e3.12]) і ([e3.15]) можуть бути об'єднані для отримання\[\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^{\,2}\,dx= \frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left[\psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x} - \psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x}\right]_{-\infty}^{\infty} = 0.\] Попереднє рівняння виконується за умови\[|\psi| \rightarrow 0 \hspace{0.5cm} \mbox{as} \hspace{0.5cm} |x|\rightarrow \infty.\] Однак це необхідна умова для зближення інтеграла з лівого боку Рівняння ([e3.4]). Отже, ми робимо висновок, що всі хвильові функції, які є квадратно-інтегровними [тобто такі, що інтеграл у рівнянні ([e3.4]) сходиться] мають властивість, що якщо умова нормалізації ([e3.4]) виконується в один момент часу, то воно задовольняється в усі наступні часи.
Також можна продемонструвати, за допомогою дуже подібного аналізу до щойно описаного, що
\[\label{epc} \frac{d P_{x\,\in\,a:b}}{dt} + j(b,t) - j(a,t) = 0,\]де\(P_{x\,\in\,a:b}\) визначено в Рівнянні ([e3.2]), і
\[\label{eprobc} j(x,t) = \frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left(\psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x} - \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)\]відомий як імовірність струму. Зверніть увагу, що\(j\) це реально. Рівняння ([epc]) - це рівняння збереження ймовірності. Згідно з цим рівнянням, ймовірність вимірювання\(x\) лежачи в інтервалі\(a\)\(b\) еволюціонує в часі за рахунок різниці між потоком ймовірності в інтервал [тобто,\(j(a,t)\)], і тим, що поза інтервалом [тобто, \(j(b,t)\)]. Тут ми інтерпретуємо\(j(x,t)\) як потік ймовірності в\(+x\) -напрямку в позиції\(x\) та часу\(t\).
Зауважимо, нарешті, що не всі хвильові функції можна нормалізувати за схемою, викладеною в Equation ([e3.4]). Наприклад, плоскохвильова хвильова функція не\[\psi(x,t) = \psi_0\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\] інтегрується в квадрат і, отже, не може бути нормована. Для таких хвильових функцій найкраще, що ми можемо сказати, це те, що\[P_{x\,\in\, a:b}(t) \propto \int_{a}^{b}|\psi(x,t)|^{\,2}\,dx.\] в наступному всі хвильові функції приймаються як інтегровані в квадраті та нормалізовані, якщо не вказано інше.